%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% ЧТО ЭТО %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ниже приводится текст предложений по программе первых двух курсов матфака Вышки, расписанный по модулям, мотивационная часть и список полезной литературы. # История версий # Версия 1.0, начало июня 2015, первый год # Версия 1.1, 26 июня 2015, поправки-замечания от Эстерова # Версия 2.0, 27 июня 2015, добавил первый семестр второго курса. # Версия 3.0, 27 июля 2015, добавил исправления от Эстерова и Пирковского, # добил последный семестр # Версия 4.0, август 2015, добавил мотивационную часть и библиографию Первый семестр: 1. Метрическая геометрия и топология 2. Основные понятия алгебры и линейная алгебра 3. Анализ: ряды, пределы, гладкие функции одной переменной. 4. Основные понятия математики и теория множеств (один модуль) / Комбинаторика (один модуль). Второй семестр: 1. Линейная алгебра (Жорданова нормальная форма, эрмитовы пространства и нормальные формы) (один модуль). 2. Теория меры (один модуль: объемы многогранников, булевы алгебры, сигма-алгебры, конструкция меры Лебега). 3. Общая топология, фундаментальная группа, накрытия. 4. Алгебра: представления конечных групп и теория Галуа. 5. Анализ: анализ на R^n и определение многообразия Третий семестр: 1. Анализ на многообразиях. 2. Теория чисел и начала коммутативной алгебры. 3. Теория меры и основы функционального анализа. 4. Алгебры Ли (один модуль). Дифференциальные уравнения (один модуль). Четвертый семестр: 1. Комплексный анализ. 2. Алгебраическая топология. 3. Основы дифференциальной геометрии (римановы многообразия, связность, кривизна). 4. Группы и алгебры Ли. Программа курсов. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 1. Метрическая геометрия и топология А. Пополнение и вещественные числа (на анализе можно дать аксиоматическое определение, а тут заставить студентов все проверять, либо наоборот). Последовательности Коши. Полнота. Б. Метрические пространства. Норма в векторных пространствах. Приведение скалярного произведения к диагональному виду. Неравенство Коши-Буняковского-Шварца. Метрика на R^n. Эквивалентность норм. Нормированные кольца и поля. В. Пополнение. P-адические числа. *Теорема Островского. Г. Компакты. Теорема Гейне-Бореля (секвенциональная компактность в метрическом пространстве эквивалентна обычной). Геодезические. *Теорема Хопфа-Ринова (локальная компактность в полном метрическом пространстве равносильна существованию геодезических). Внутренние метрики. Д. Основы общей топологии. Дискретная, кодискретная топология, аксиомы Хаусдорфа, аксиомы счетности, экзотические примеры топологических пространств. Сходимость последовательностей в топологических пространствах. Гомеоморфизм, замыкание, всюду плотные множества. Е. Произведение топологических пространств. Топология произведения и топология на R^n. Гильбертов куб. Лемма Урысона (о существовании непрерывных функций на хаусдорфовых нормальных пространствах). *Теорема о метризуемости (хаусдорфово пространство со счетной базой метризуемо и допускает вложение в гильбертов куб). %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 2. Линейная алгебра и основы алгебры. А. Группы, кольца, поля. Группа перестановок. Аксиоматическое определение вещественных чисел. Комплексные числа, сопряжение, модуль, деление комплексных чисел. Б. Действие группы на множестве. Гомоморфизм. Каждая группа вкладывается в группу перестановок. Нормальные подгруппы, диэдральная группа, симметрическая группа, четверная группа Клейна, полупрямое произведение, центральное расширение. В. Делимость и алгоритм Евклида. Разложение на простые множители. Идеалы, гауссовы числа, факториальные кольца, кольца главных идеалов. Гомоморфизм колец, факторкольцо. Неоднозначность разложения на простые в числовых кольцах (примеры). Г. Векторное пространство. Базис, размерность, линейная независимость, тензорное произведение. Линейные операторы. Алгебраические числа, иррациональные числа, трансцендентные числа. Сумма, произведение, частное алгебраических чисел алгебраично. Д. Линейные формы, билинейные формы, полилинейные формы, тензорное произведение. Двойственность и ее свойства. Симплектические, евклидовы векторные пространства и их группы автоморфизмов. Ортонормированный базис, симплектический базис. Сигнатура квадратичной формы. Е. Алгебры над полем. Гиперкомплексные числа, кватернионы, полиномы, алгебра Грассмана. Алгебры, заданные образующими и соотношениями. Алгебра Клиффорда. Ж. Алгебра Грассмана (подсчет размерности компонент). Алгебра Грассмана (определитель). Мультипликативность определителя. Тензорное произведение алгебр. Алгебра Грассмана от суммы двух пространств. Базис в алгебре Грассмана, явное выражение для определителя. Матрица как способ записи линейного оператора. Ранг матрицы. Обращение матриц (явная формула). Определитель ортогональной матрицы. Определитель симплектической матрицы. Пфаффиан. Определитель Вандермонда. З. Собственные значения и собственные векторы. Приведение оператора к верхнетреугольной форме; приведение коммутирующих операторов к верхнетреугольной форме в одном и том же базисе. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 3. Основы анализа. А. Предел, сходимость, предельные точки. Б. Аксиоматическое определение вещественных чисел (явная конструкция дается в "геометрии"). Сходимость монотонной последовательности. *Сечение Дедекинда. В. Сходимость рядов. Критерии сходимости. Степенные ряды. Г. Абсолютная сходимость. Радиус сходимости ряда. Умножение рядов. Разложение рациональных функций в степенной ряд. Д. Непрерывные функции. Теорема о промежуточном значении. Непрерывность полинома. Решение полиномиальных уравнений нечетной степени. Е. Дифференцируемые функции. Производная. Экстремум функции. Исследование полиномиальных функций на экстремумы. Явное вычисление производных. Правило Лейбница, производная композиции, производная частного. Производная как касательная к графику. Ж. Правило Лопиталя. Теорема Лагранжа о приращении. Теорема Ролля. З. Разложение функции в ряд Тэйлора. Формула Тэйлора с остаточным членом. Аналитические функции. И. Комплексные числа и движения R^2. Явное задание движений через комплексные числа. Классификация движений. К. Функции комплексной переменной. Экспонента, синус, косинус, разложение в синуса и косинуса ряд. Основная теорема алгебры. Л. Логарифм, разложение логарифма в ряд. Функциональные тождества для логарифма и экспоненты. М. Интеграл (наивное определение для непрерывных функций на прямой). Формула Ньютона-Лейбница. Интеграл как площадь под графиком. Н. Символьное интегрирование. Интегралы от рациональных функций, экспонент, произведения полиномов и экспонент (с использованием линейных пространств). %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 4. Комбинаторика и теория множеств. А. Формальный метод Гильберта: системы аксиом евклидовой геометрии от Евклида до Гильберта и Колмогорова. Б. Простейшие аксиоматические структуры. Кванторы. Исчисление высказываний. В. Множества, функции. Соотношения эквивалентности и порядка. Аксиомы Пеано и метод математической индукции. Г. Счетные множества, несчетные множества. Диагональный метод Кантора и парадоксы наивной теории множеств. Д. Формальная теория множеств (обзор). Теорема Кантора-Бернштейна. Континуум-гипотеза. Е. Аксиома выбора, ординалы, теорема Цермело, лемма Цорна. Ж. Основы комбинаторики. Отображения конечных множеств. Принцип Дирихле и биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаля. З. Степенные ряды и производящие функции. Числа Фибоначчи. И. Треугольные числа. Разбиения и перестановки. Рекуррентные соотношения. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% ВТОРОЙ СЕМЕСТР %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 1. Линейная алгебра: теория матриц (3-й модуль) А. Алгебра матриц, ее основные свойства. Алгебраические операции над матрицами. Полиномиальные операции, логарифм, экспонента. Характеристический полином, минимальный полином, собственные вектора и собственные значения. Б. Модули над кольцом. Разложение модуля над кольцом главных идеалов в произведение циклических. Классификация конечно-порожденных абелевых групп. Полупростые и нильпотентные операторы, разложение Жордана-Шевалле (в произведение полупростого и нильпотентного оператора, которые коммутируют). Пространства с действием матрицы как модули над кольцом полиномов $\C[t]$. Жорданова нормальная форма, ее существование и единственность. Теорема Гамильтона-Кэли. В. * Симметрические матрицы, кососимметрические, унитарные, ортогональные. * Нормальная форма для таких матриц. * Полярное разложение. Матричная форма для симметрических и кососимметрических форм. Г. Геометрическая интерпретация нормальной формы симметрической матрицы: главные оси эллипсоида и гиперболоида. Основные свойства и набросок классификации квадрик в R^2, R^3 и в R^n. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 2. Основания теории меры (4-й модуль) А. Построение объема многогранников, его аксиоматическое определение, существование и единственность. * Равносоставленные и равновеликие многогранники. * 3-я проблема Гильберта (обзор). Б. Булевы алгебры и булевы кольца. Идеалы в булевых алгебрах. Идемпотенты. Теорема Стоуна о представимости булевой алгебры (формулировка). В. Сигма-алгебры, определение и примеры. Определение меры. Множества меры нуль и их свойства. Г. Определение меры Лебега через пополнение. Основные свойства меры (монотонность, сигма-аддитивность). Д. Интеграл ступенчатой функции. Определение измеримых функций. Аксиоматическое определение интеграла Лебега и его явное построение. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 3. Топология: общая топология и основы гомотопической топологии. А. Компактность в топологических пространствах. *Теорема Тихонова (произведение компактов компактно). Поточечная и равномерная сходимость. Теорема Арцела-Асколи. Кривая Пеано. Б. Связность. Вполне несвязные пространства. Канторово множество. В. * Теория категорий. Теорема Стоуна о представимости (эквивалентность категории вполне несвязных хаусдорфовых пространств и булевых алгебр). [ Если лектор не хочет рассказывать теорему Стоуна, категории придется определять в конце курса ] Г. Линейная связность, геодезическая связность (на метрических пространствах). Фундаментальная группа. Примеры односвязных пространств. Стягиваемые пространства. Деформационные ретракты. Д. Факторизация топологических пространств по соотношению эквивалентности. Пространство орбит группы. Фундаментальная группа графа. Е. Накрытие. Произведение накрытий - накрытие. Композиция накрытий - накрытие. Накрытие Галуа. Группа монодромии накрытия. Ж. Категории. Теория Галуа для накрытий (подгруппы группы монодромии соответствуют накрытиям). Существование универсального накрытия для линейно связных пространств. З. Гомотопическая эквивалентность. Многообразия. Локально стягиваемые пространства. Односвязность n-мерной сферы. И. Открыто-компактная топология на пространстве отображений. Топология равномерной сходимости на компактах. Классы гомотопии отображений суть компоненты связности в пространстве непрерывных отображений. Полнота пространства функций с $C^0$-топологией. К. Свободная группа. Свободное произведение групп. Подгруппа свободной группы свободна (теорема Нильсена-Шрайера). Л. *Теорема Зейферта-ван Кампена. [ Примечание. Доказательство этой теоремы можно изложить как эффектное применение теории категорий. Если лектор не хочет читать теорию категорий в должном объеме, лучше Зейферта-ван Кампена не касаться, потому что ее формулировка уныла, а бескатегорное доказательство совершенно безблагодатно ] %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 4. Алгебра: представления конечных групп и теория Галуа. А. Конечные группы и их представления. Неприводимые представления. Классификация представлений конечной абелевой группы. Б. Тензорные степени представления. Инвариантная метрика (существование). Теорема Машке и лемма Шура. Классификация вещественных неприводимых представлений (вещественные, комплексные, кватернионные). В. Групповая алгебра, регулярное представление, характеры. Ортогональность характеров неприводимых представлений и их классификация. Формула Бернсайда. Г. * Симметризаторы Шура и классификация представлений симметрической группы (без доказательства). Д. * Индуцированные представления. * Разрешимые и нильпотентные группы и их неприводимые представления. Е. Алгебраические числа. Конечные расширения. Сумма, произведение, частное алгебраических чисел алгебраично. Конечные расширения, полученные из неприводимых полиномов. Ж. Алгебраически замкнутые поля. Конструкция алгебраического замыкания. Вложение $\bar \Q$ в C. З. Конечные поля. Эндоморфизм Фробениуса. Цикличность мультипликативной группы. И. Композит расширений. Расширение Галуа. Группа Галуа. Биекция между подгруппами группы Галуа и подполями ("основная теорема теории Галуа") в характеристике 0. К. Теорема о примитивном элементе (характеристика 0). Л. Конечная характеристика: сепарабельные и несепарабельные расширения. Основная теорема теории Галуа в конечной характеристике (без доказательства). М. Теория Галуа для конечных полей. Цикличность группы Галуа. Н. Абелевы расширения. Циклические расширения. Резольвента Лагранжа. О. Группа Галуа многочлена. Теорема Абеля: уравнение разрешимо в радикалах тогда и только тогда, когда его группа Галуа разрешима. Пример уравнения, неразрешимого в радикалах. П. Симметрические многочлены. Элементарные симметрические многочлены. Определение и эквивалентность стандартных базисов кольца симметрических многочленов (без доказательства). Замечание. На теорию Галуа одного модуля может не хватить, но если не вдаваться в характеристику p и примеры, уложиться можно. Примеры и характеристика p неизбежно будет в "теории чисел" (3-й семестр). В крайнем случае можно отобрать неделю или две от "представлений конечных групп" (это не вполне разумно, но технически осуществимо, потому что "представления конечных групп" as is недогружены). Сейчас теория Галуа читается за 1 модуль, причем студентам второго курса, которые существенно слабее первокурсников, ибо успевают утратить мотивацию. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 5. Анализ: дифференциал, гладкие многообразия и пучки. А. Дифференциал функции $f:\; \R^n \arrow \R^m$. Интерпретация дифференциала как касательной плоскости к графику. Дифференциал и частные производные. Дифференциал композиции, Б. Лемма Адамара. Разложение функции $f:\; \R^n \arrow \R$ в ряд Тэйлора. В. Экстремум функции и дифференциал. Г. Коммутирование частных производных. Гессиан функции. Д. Сигнатура гессиана и качественное поведение экстремума. Примеры экстремумов (максимум, седло, желоб, обезьянье седло). Е. Гладкое отображение. Диффеоморфизм. Теорема о сжимающем отображении. Теорема об обратной функции. Ж. Подмногообразие в R^n. Критические точки и критические значения. Прообраз регулярного значения - подмногообразие. З. Лемма Сарда (без доказательства). И. Лемма Морса. Классификация экстремумов для функций с невырожденным гессианом. (В этот момент мы переходим к пучкам и многообразиям, но переход от первого модуля ко второму должен случиться не тут, а где-то между Е и Ж). К. Абстрактное многообразие: определение в терминах карт и атласов. Покрытия, измельчения, локально конечные покрытия. Л. Пучки функций. Примеры пучков функций. Пучок гладких функций. Окольцованное пространство. Многообразие как окольцованное пространство, локально изоморфное шару с кольцом гладких функций на нем. Эквивалентность определения через пучки и через атласы. (Сами по себе пучки - понятие излишне абстрактное, но тут нам нужны подпучки в пучке функций; их определить проще, потому что нужна только аксиома склейки, и они гораздо менее абстрактные). Н. Разбиение единицы. Теорема Уитни о вложении в R^n для компактных многообразий. О. *Образ гладкого отображения $\R^n \arrow \R^{n+k}$ имеет меру ноль. П. * Понижение размерности в теореме Уитни. Теорема Уитни для некомпактных многообразий. Р. * Эквивалентность трех определений многообразия (через вложение в R^n, через пучки, через карты и атласы). %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% ВТОРОЙ КУРС (третий семестр) %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 1. Анализ на многообразиях (два модуля). А. Кольцо гладких функций, кольцо аналитических функций, их базовые свойства. Дифференцирование колец. Дифференцировани со значениями в модуле над кольцом. Векторные поля как дифференцирования. Векторные поля (координатная запись). Коммутатор векторных полей. Соотношение Якоби. Б. Пучки. Прямые пределы. Ростки функций. Кольцо ростков функций. Ростки пучков. Векторное расслоение как локально свободный пучок модулей над функциями. Расслоение векторных полей. В. Субмерсии и иммерсии многообразий. Локально тривиальные расслоения многообразий. Расслоение Хопфа и лента Мебиуса, их основные свойства. Г. Векторное расслоение как гладкое расслоение с дополнительной структурой. Касательное, кокасательное расслоения и их свойства. Слой расслоения. Ориентируемость расслоений и многообразий. Тотальное пространство векторного расслоения. Эквивалентность понятия расслоения, определенного через пучки и понятия расслоения, определенного как расслоенное пространство с дополнительной структурой. Д. Естественные операции над векторными расслоениями: тензорные произведения, двойственность, билинейные формы и полилинейные формы на расслоениях. Римановы метрики, построение римановой метрики на многообразии. Деетерминантное расслоение и ориентируемость. Е. Теорема Уитни для расслоений на компактном многообразии (вложение любого расслоения в тривиальное). * Теорема Серра-Суона об эквивалентности категории расслоений и проективных модулей над кольцом функций. Ж. Потоки диффеоморфизмов. Интегрирование векторных полей до диффеоморфизмов. Коммутирующие векторные поля и коммутирующие потоки диффеоморфизмов. З. Алгебра де Рама. Обратный образ формы. Интегрирование формы объема (аксиоматическое определение). Супералгебры и суперкоммутатор. И. Дифференциал де Рама. Лемма Пуанкаре. Когомологии де Рама. Когомологии с компактным носителем. К. Точные последовательности комплексов и длинные точные последовательности когомологий. Последовательность Майера-Виеториса. Вычисление когомологий сферы. К. Интегрирование дифференциальных форм (доказательство существования интеграла дифференциальной формы, удовлетворяющего аксиомам). Формула Стокса. Л. Производная Ли. Формула Картана. Дифференциал де Рама в форме Шевалле (без доказательства). Дивергенция векторного поля. Инвариантность интеграла при диффеоморфизме. М. * Оператор Лапласа на римановом многообразии. * Гармонические функции. * Формула Грина на римановом многообразии. * Теорема о среднем для гармонической функции. * Принцип максимума для гармонических функций. ** Неравенство Харнака. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 2. Алгебры Ли (один модуль). A. Тождество Якоби. Представления алгебры Ли. Алгебра Ли дифференцирований кольца. Матричная алгебра. Присоединенное представление. Тензорное произведение представлений. Б. Классические группы и их алгебры Ли: ортогональная, унитарная, симплектическая. Экспонента оператора. В. Классификация представлений sl(2). Формула Клебша-Гордана. *Теорема Морозова-Джекобсона. Г. Группы Ли. Алгебра левоинвариантных векторных полей на группе Ли. Соответствие между односвязными группами Ли и их алгебрами (без доказательства). Д. * Форма Киллинга. Полупростые алгебры Ли. * Критерий Картана полупростоты. * Форма Киллинга классических алгебр Ли. Е. * Разрешимые и нильпотентные алгебры Ли. * Теорема Ли и теорема Энгеля. Критерий Картана разрешимости. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 3. Дифференциальные уравнения (один модуль). А. Векторные поля и обыкновенные дифференциальные уравнения. Функция, постоянная вдоль векторного поля. Интегральные кривые поля направлений. Б. Линейные дифференциальные уравнения. Экспонента линейного оператора как решение линейного дифференциального уравнения. Однопареметрические подгруппы в группе Ли и левоинвариантные векторные поля. В. Теорема о локальном выпрямлении невырожденного векторного поля. Локальное существование и единственность решения ОДУ. Г. Теорема Пикара-Линделефа. Д. Потоки диффеоморфизмов. Интегрирование векторного поля до потока диффеоморфизмов на компактном многообразии. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 4. Теория меры и основы функционального анализа. А. Мера на сигма-алгебре. Борелевские множества. Измеримое множество как предел последовательности Коши борелевских. Мера Лебега на $R^n$ (существование, единственность). Измеримые множества по модулю множеств меры нуль суть борелевские. Б. Измеримые и интегрируемые функции. Пространство L^1. Полнота L^1. В. Поточечная сходимость, равномерная сходимость, сходимость в L^1. Теорема Лебега об ограниченной сходимости, теорема Лебега о монотонной сходимости. Теорема Егорова. # Лемма Фату сознательно выкинута, # по-моему, она только запутывает. # Но лектор вправе ее сам добавить. Г. Разложение Хана. Теорема Радона-Никодима. Теорема Фубини. Д. * Регулярность меры Лебега. * Внешняя мера. Продолжение Каратеодори. * Мера Хаара на локально компактных группах. Е. * Теорема Лебега о плотности и теорема Лебега о дифференцировании. #два пункта (Д, Е) остаются на усмотрение #лектора. Внешняя мера сознательно исключена из #основной части курса, без нее можно #обойтись, если определять меру на #борелевских множествах и переходить #к пределу по метрике, определенной #как мера от симметрической разности; #но для консистентности ее неплохо добавить #тоже. Меру Хаара (и несколько других хороших мер) #без внешней меры определить просто невозможно. #Но это одна из самых трудных частей #стандартного курса, так что оставляю #на усмотрение лектора. З. Теорема Вейерштрасса об аппроксимации. Теорема Стоуна-Вейерштрасса о приближении функции в C^0-топологии на компакте функциями из кольца функций, разделяющих точки. И. Гильбертовы пространства. Базис. Изоморфность гильбертовых пространств. К. Ряды Фурье. Разложение функции в ряд Фурье. L^2-топология; ее сравнение с C^0 и L^1-топологией. Л. Топологические векторные пространства. Нормированные пространства. Непрерывные операторы. Эквивалентность ограниченности и непрерывности. Операторная норма. М. Теорема Рисса о нормированных пространствах с компактным единичным шаром. Компактные операторы. Примеры компактных операторов. Компактность антидифференцирования. Н. Самосопряженные операторы. Спектральная теорема для компактного самосопряженного оператора на гильбертовом пространстве. * Неограниченные операторы. Введение в квантовую механику. О. Топология, заданная набором полунорм. Локально выпуклые топологические векторные пространства. Критерии метризуемости локально выпуклого пространства. Пространства Фреше, их примеры. Пространство Фреше гладких функций. П. * Обобщенные функции и потоки. Прямой образ потока как послойное интегрирование. Интегральные операторы. Решение уравнения Лапласа сверткой с ядром Ньютона. #Немалую часть функционального анализа #рассказать на этом этапе невозможно, например, #потому что нет формуы Коши. Но спектральная #теорема для гильбертовых пространств делается #довольно просто. As is, курс в части функана #представляет собой очень базовый ликбез. Все, #кроме совсем необходимых вещей, оставлено на #усмотрение лектора. Но запихивать интегральные #операторы и обобщенные функции в курс #ТФКП, как это у нас делается, точно не #надо, он и без того перегружен, поэтому #два последних пункта без звездочек, хотя #они их тоже заслуживают. Отсутствие #Банаха-Штейнхауза, Хана-Банаха, Банаха-Шаудера #и Банаха-Алаоглу вполне сознательное, все #эти вещи вместе все равно не влезут, а давать их #по отдельности непонятно зачем. #Нотабене: к моменту, когда этот курс #заканчивается, дифференциальные формы на "анализе #на многообразиях" уже будут неплохо освоены, что #существенно облегчит определение потоков #и интегральных операторов. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 5. Теория чисел и основы коммутативной алгебры. А. Идеалы, модули, точные последовательности модулей. Нетеровы кольца. Теорема Гильберта о базисе. Б. Простые идеалы, максимальные идеалы. Нильрадикал. Китайская теорема об остатках. В. Кольца главных идеалов, евкидовы кольца, факториальные кольца. Лемма Гаусса. Г. Целые расширения. Целозамкнутые (нормальные) кольца, целые замыкания. Нормальность факториальных колец. Кольца целых алгебраических чисел. Примеры факториальных и нефакториальных числовых колец. Д. Локальные кольца. Лемма Накаямы. Е. Арифметика по модулю p. Первообразный корень по модулю p. Квадратичные вычеты и невычеты. Символ Лежандра. Формула Лежандра. * Квадратичный закон взаимности. Ж. Кольца дискретного нормирования. З. Дедекиндовы области. Примеры дедекиндовых колец: кольца целых, функциональные кольца. Целое разширение дедекиндова кольца дедекиндово. Дробные идеалы и обратимые идеалы. Группа классов идеалов. И.* Целые расширения дедекиндовых колец и простые идеалы. * Ветвление. * Дискриминант. * Идеал неразветвлен в расширении тогда и только тогда, когда не делит дискриминант. К. * Нормирования. Классификация нормирований на Z (теорема Островского). * Архимедовы и неархимедовы нормирования. * Локально компактные поля. Л. * Конечные расширения полных нормированных полей полны. * Продолжение нормирований на конечные расширения. * Соответствие между вложениями в алгебраическое замыкание и нормированиями. * Комплексные и вещественные архимедовы нормирования. * Уравнение Пелля. * Теорема Дирихле о единицах (без доказательства). М. * Кольцо аделей. * Теорема о сильной аппроксимации. Н. Группа Галуа поля действует на кольце целых. Группа автоморфизмов кольца и группа Галуа его редукции по модулю p. Теорема Дедекинда о группе Галуа полинома и его редукции. # Катя Америк жаловалась, что в сокращенной # версии теории Галуа, которая дается в 4-м модуле # первого курса, нельзя доказать теорему Дедекинда. # Но эта теорема на самом деле теоретико-числовая # и (хуже того) требует целых расширений, с которыми # студента ознакомить непросто (чтобы было понятно, # нужны конечно-порожденные модули над кольцом, # точные последовательности, нетеровость, и много чего другого). # Поэтому теорему Дедекинда надо читать в курсе теории чисел: # у теории целых расширений есть масса теоретико-числовых # приложений помимо теории Галуа. Другое # дело, что теорема Дедекинда существенно менее фундаментальна, # чем теорема Дирихле о единицах и сильная аппроксимация, # возможно, имеет смысл ее таки выкинуть, и вместо # нее рассказать уравнение Пелля и какой-то кусок # сильной аппроксимации. На усмотрение лектора. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% ВТОРОЙ КУРС (второй семестр) %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 1. Основы дифференциальной геометрии. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% А. Векторные расслоения, их тотальные пространства и их пространства сечений. Дифференциальные операторы на векторных расслоениях. Связность как дифференциальный оператор. Б. Связности на тензорных произведениях расслоений. Связность на касательном и коказательном расслоении. Определение кручения связности на касательном расслоении через коммутаторы векторных полей. Определение кручения связности на кокасательном расслоении через умножение в алгебре де Рама. Эквивалентность этих определений. Кручение как тензор. В. Связности, сохраняющие заданный тензор. Ортогональные связности, их существование. Связность Леви-Чивита (существование, единственность). * Симплектические связности, их существование и неединственность. Г. Продолжение связности на алгебру де Рама с коэффициентами в расслоении. Кривизна связности как квадрат оператора связности. Кривизна как дифференциальная форма с коэффициентами в эндоморфизмах. Дифференциальное тождество Бьянки. Форма кривизны линейного расслоения замкнута. * Формы Черна-Вейля, их замкнутость. Г. Кривизна связности Леви-Чивита. Алгебраическое тождество Бьянки. Пространство алгебраических тензоров кривизны. Симметрии тензора кривизны. * Произведение Кулкарни-Номидзу. * Кривизна сферы, ее выражение в терминах произведения Кулкарни-Номидзу. Д. Гауссова кривизна. Первая и вторая фундаментальная форма гиперповерхности в R^3. Геометрический смысл гауссовой кривизны в размерности 2. Теорема Гаусса-Бонне. Е. Гладкие слоения. Подрасслоения в касательном расслоении. Пространство листов. Теорема Фробениуса. Ж. Связность Эресманна. Параллельный перенос вдоль связности. Единственность и существование параллельного переноса. З. Соответствие Римана-Гильберта между локальными системами и плоскими связностями. И. Группа голономий. Теорема Амброза-Зингера (набросок доказательства). Голономия связности на двумерной сфере. * Голономия связности на линейном расслоении как интеграл от кривизны. К. Симплектические многообразия. Теорема Мозера. Теорема Дарбу. Поток гамильтоновых диффеоморфизмов и его гамильтониан. * Отображение моментов. Л. Геодезическая и ее уравнение. Существование и единственность геодезической. Геодезическая как минимум функционала длины. Геодезический поток и его гамильтониан. М. * Поля Якоби, их уравнения. * Критические точки на геодезических. * Теоремы сравнения для положительной и отрицательной кривизны. * Теорема Картана-Адамара. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 2. Группы и алгебры Ли. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% А. Группа Ли, ее алгебра Ли как алгебра левоинвариантных векторных полей. Комплексные группы Ли. Б. Экспонента и логарифм матриц (условия сходимости). Однопараметрические подгруппы и вектора алгебры Ли. Экспоненциальное отображение. Замкнутые подгруппы групп Ли суть подмногообразия. В. Компактные группы, их примеры. Невырожденность формы Киллинга для компактной группы. Полная приводимость представлений. * Теорема Петера-Вейля. Г. Универсальная обертывающая алгебра как универсальный объект. Универсальная обертывающая алгебра свободной алгебры Ли свободна. Алгебра дифференциальных операторов. Теорема Пуанкаре-Бирхгоффа-Витта. Присоединенная градуированная алгебра к алгебре дифференциальных операторов на многообразии - полиномиальная алгебра. Д. Коумножение и коалгебры. Примитивные и групповые элементы коалгебры. Коммутатор примитивных элементов примитивен. Пополнение универсальной обертывающей алгебры свободной алгебры Ли. Формальные группы. Формальный логарифм и формальная экспонента. Ряд Кэмпбелла-Хаусдорфа. * Его сходимость в матричных группах. Е. Эквивалентность формальных групп Ли и алгебр Ли. Универсальное накрытие группы Ли - группа Ли. * Спинорная и метаплектическая группа. Эквивалентность односвязных групп Ли и алгебр Ли (схема доказательства). Ж. Нильпотентные и разрешимые алгебры Ли. Форма Киллинга. Критерий Картана разрешимости. З. Радикал алгебры Ли. Полупростые алгебры Ли. Критерий Картана полупростоты. Вещественные формы комплексных групп Ли. Существование компактной вещественной формы у полупростой комплексной группы. Полная приводимость представлений полупростой группы. И. Максимальные торы в компактных группах. Монотетические элементы в компактных группах. Сопряженность максимальных торов (возможно, без доказательства). Корневое разложение алгебры Ли. К. Алгебраические группы. Разложение Шевалле-Картана. Регулярные и полупростые элементы. Алгебры Картана. Корневые вектора алгебр Картана. Л. Системы корней (аксиоматическое определение). Проверка аксиом системы корней для простой алгебры Ли. М. Группы, порожденные отражениями. Группа Вейля. Диаграммы Дынкина. Построение систем корней для классических групп. Классификация систем корней (без доказательства). Н. * Восстановление простой алгебры Ли по системе корней. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 3. Комплексный анализ. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% А. Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда. Формула Адамара. Операции над степенными рядами. Комплексно-аналитические функции. Экспонента и логарифм. Непрерывная ветвь логарифма. Б. Разложение Ходжа для 1-форм. Теорема Морера (голоморфность функции равносильна условию $df\in \Lambda^{1,0}$). Уравнение Коши-Римана. Формула Коши. Комплексная аналитичность голоморфных функций. Принцип аналитического продолжения. В. Гармонические функции. Голоморфность гармонических функций. Гармоническая функция в односвязной области в C есть вещественная часть голоморфной. Теорема о среднем. Принцип максимума. * Решение задачи Дирихле. Г. Лемма Шварца. Голоморфность и антиголоморфность конформных отображений. Метрика Пуанкаре на диске (существование, единственность метрики, инвариантной относительно голоморфных автоморфизмов). Группа голоморфных автоморфизмов диска. Классификация движений диска Пуанкаре: эллиптические, параболические, гиперболические автоморфизмы. * Метрика Пуанкаре на верхней полуплоскости и дробно-линейные преобразования. Д. Голоморфные функции в кольце и в проколотом круге. Разложении функции в ряд Лорана. Вычеты. Существенные и несущественные особенности. Теорема Вейерштрасса о множестве значений функции с существенной особенностью. * Теорема Римана о продолжении Е. Комплексные многообразия. Римановы поверхности. Мероморфные функции как отображения в $CP^1$. Преобразования Мебиуса. Группа голоморфных автоморфизмов $CP^1$. * Риманова поверхность голоморфной функции. Ж. Подсчет числа нулей через вычеты логарифмической производной. Теорема Руше. Вычисление интегралов с помощью вычетов. З. Топология равномерной сходимости на компактах ("компактной сходимости"). Метризуемость этого пространства. Замкнутость пространства голоморфных функций в топологии компактной сходимости. И. Нормальные семейства. Нормальность ограниченного семейства голоморфных функций (теорема Монтеля). К. Теорема Гурвица (предел инъективных голоморфных отображений либо инъективен, либо равен константе). Теорема Римана об отображении. Л. Кривизна метрики Пуанкаре. Классификация двумерных многообразий постоянной кривизны. Гиперболические двумерные многообразия и фуксовы группы. Примеры фуксовых групп. Модулярная группа. Теорема Пикара. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 4. Алгебраическая топология. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% А. Топология фактора. Клеточные пространства и симплициальные пространства. Вложения клеточных пространств в R^n. Ретракты, гомотопии, гомотопические группы. Задание фундаментальной группы симплициального комплекса образующими и соотношениями по его 2-скелету. Б.* Точные последовательности. Расслоения в смысле Серра. Точная последовательность гомотопических групп для расслоения. Расслоение Хопфа и его точная последовательность гомотопических групп. В. * Нерв категории. * Пространство типа $К(\pi, 1)$, его конструкция. * Единственность пространства типа $К(\pi, 1)$ для заданного $\pi$. Г. Когомологии комплекса. Лемма о змее и 5-лемма. Длинная точная последовательность, ассоциированная с точной последовательностью комплексов. Последовательность Майера-Виеториса для когомологий де Рама. Д. Когомологии де Рама с компактными носителями. Последовательность Майера-Виеториса для когомологий де Рама с компактными носителями Е. Функториальное отображение из одной теории когомологий в другую есть эквивалентность, если индуцирует изоморфизм на шаре и обе теории когомологий удовлетворяют Майеру-Виеторису. Двойственность Пуанкаре для когомологий де Рама и когомологий де Рама с компактными носителями. Ж. Сингулярные гомологии и когомологии и их гомотопическая инвариантность. Последовательность Майера-Виеториса для сингулярных когомологий. Эквивалентность сингулярных когомологий над R и когомологий де Рама. З. Когомологии пары и точная последовательность пары. Изоморфизм вырезания. Когомологии пары и когомологии конуса. Аксиоматическое определение теории когомологий. И. Эквивалентность клеточных когомологий и сингулярных когомологий (можно доказать индукцией по числу клеток и через точную последовательность пары). Вычисление когомологий для комплексных грассманианов и проективных пространств. К. Когомологии тензорного произведения комплексов. Формула Кюннета. Умножение в теории когомологий как ограничение на диагональ. Л. Алгебры Хопфа, теорема Хопфа о структуре алгебр Хопфа. Вычисление когомологий групп Ли. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% ЗАЧЕМ ВСЕ ЭТО (мотивационная часть) %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% CORE MATHEMATICS Матфак, а равно и НМУ, постоянно критикуют за узкий выбор математических предметов. Критики уверены, что обучение математике должно строиться как на мехмате, то есть основным предметом должна быть теория функций действительного переменного (анализ на прямой), в нагрузку к которой предлагается сборная солянка из прикладных курсов, от статистики классической механики и дифуров до УрЧП. Я не уверен в практической ценности подобных знаний, хотя программа "калькулюса" в западных университетах (математические курсы, которые читаются для студентов, которые не собираются быть математиками, и впадают в кататонический ступор при виде икса в уравнении) в общих чертах соответствует этому идеалу. Но "калькулюс" есть универсально ненавистный предмет, вызывающий равное отвращение у студентов и у преподавателей. Поэтому обсуждать калькулюс противно и я не хочу. Дима Павлов предложил называть предмет, который преподает НМУ и матфак Вышки, core mathematics, ссылаясь на текст Майкла Атьи, где core mathematics якобы определяется. Подходящей цитаты из Атьи я найти не мог, но суть происходящего изложить просто. Математик развивает свою науку на фундаменте теорий, разработанных его предшественниками. Некоторые из этих теорий развились до такой степени, что для осмысленной работы с ними требуется несколько лет изучения. Интересно, что если отбросить верхний этаж, то есть науки, которые требует год-другой нормальной работы, чтобы их освоить, останутся курсы, которые теснейшим образом переплетены друг с другом. Алгебраическую топологию невозможно освоить без теории категорий и гомологической алгебры, они же играют ключевую роль в алгебраической геометрии, которая основана на коммутативной алгебре, теории чисел, дифференциальной геометрии и комплексном анализе, которые базируются на топологии и УрЧП. Именно это и называется core mathematics - совокупность тесно связанных предметов, лежащих в фундаменте большинства заметных достижений математики после начала 1960-х. Прекрасной иллюстрацией к понятию core mathematics является теорема об индексе Атьи-Зингера; для ее понимания нужны фундаментальные знания в функциональном анализе, топологии, теории групп Ли, спинорной геометрии, К-теории и УрЧП, а ее основная область применения - алгебраическая геометрия, дифференциальная геометрия и топология. Для практических целей, можно определить core mathematics как "предметы, которые используются в доказательстве теоремы Атьи-Зингера". Это определение неточное, но настолько близкое к точному, что разница делается незначительна. Вместо Атьи-Зингера можно взять любое другое великое достижение математики: работы Делиня по гипотезам Вейля (и их развитие в книге Бейлинсона-Бернштейна-Делиня), доказательство Уайлсом теоремы Ферма, доказательство Гротендика формулы Гротендика-Римана-Роха, доказательство Гивенталем зеркальной симметрии, или работы Дональдсона, Уленбек и Таубса по 4-мерной топологии. Для каждого из этих предметов, сущность "core mathematics" будет немного другой, но разница в десяток процентов непринципиальна, и никак не влияет на предмет обучения студентов первого и второго года. Ориентация матфака ВШЭ на core mathematics в общих чертах разделяется студентами и сотрудниками; предложенная мной программа есть введение в core mathematics и ничего больше. Выбранная ориентация -- не предмет для обсуждений, если вам нужен факультет, где готовят программистов, инженеров или актуариев, вы пришли не туда. Для целей составления этой программы, единственная иерархия есть роль предмета в core mathematics; в программу включены предметы, без которых невозможно обойтись при изучении более продвинутых курсов, и только они. ПРО МАТЕМАТИКУ В середине 1980-х мне попался в руки учебник анализа для студентов ПТУ - небольшая книжка в коричневой мягкой обложке. Что интересно, он содержал себе, в доступной студентам ПТУ элементарной и вместе с тем математически строгой форме, все содержание курса математического анализа, нужного большинству математиков. Лопиталю, вице-президенту французской Академии, желавшему усвоить примерно тот же материал, потребовался десяток лет и личный учитель в лице Иоганна Бернулли, которому Лопиталь платил 300 фунтов в год за уроки (где-то $30,000 на современные деньги), а ординарному человеку этот материал был совершенно недоступен. Сейчас тому же самому можно (и нужно) обучать студентов ПТУ и школьников. Объяснить этот поразительный прогресс можно по-разному, начиная с биологических изменений в организме человека под действием горизонтальной эволюции и заканчивая эффектом Флинна, который установил, что IQ жителей большинства стран растет на 2-3 процента каждое десятилетиее. Но самое разумное объяснение, оно же самое простое, состоит в изменении математического языка. Математика сама по себе - язык, но грамматика и синтаксис этого языка меняется до неузнаваемости каждые 20-50 лет. Мне однажды попалась первая статья Морса, из которой я пытался выяснить доказательство леммы Морса в гиперболической геометрии. Мне это не удалось, и даже не удалось найти в тексте ее формулировку. С таким же успехом статья могла быть написана на китайском. В результате я придумал собственное доказательство, это оказалось сильно проще, чем разбираться в морсовском. В математике идут одновременно два процесса: органический рост этого потрясающего строения, которое называется core mathematics, и одновременно - не менее потрясающая перестройка оснований математического языка, постепенно уравнивающая гениев 300-летней давности с современными ПТУшниками. Эти два процесса постепенно компенсируют друг друга, иначе здание core mathematics стало бы излишне огромным, негостеприимным, и со временем - необитаемым. Это значит, что каждое открытие, каждый сантиметр прогресса в математике переднего края приводит к перестройке математического языка. Прогресс математики -- это не только открытия на переднем крае, это еще и радикальное упрощение доселе нетривиальных концепций core mathematics. Преподавать современную математику можно только в постоянной переоценке ценностей, день ото дня отбрасывая все ненужное и устаревшее, и замещая песок и папье-маше в фундаменте здания стеклокерамикой и бакелитом. Иначе мы застрянем в той же точке, что и мехмат. Если вдуматься, все содержание математического образования XIX века (и современной России) можно подчерпнуть за год из хорошо составленного учебника по матанализу для ПТУ. Подозреваю, что через 100 лет то же самое будут говорить и про содержательную часть всех курсов матфака. ПРО МАТФАК Я проработал тут 5 лет, и ни разу не был разочарован ни в коллегах, ни в студентах. Они замечательны и прекрасны, и нравятся мне лично, и как профессионалы. Зато программа обучения на матфаке вызывает массу нареканий. Общая структура (четыре модуля вместо двух семестров, курсы по выбору после первых двух лет обучения с полным набором обязательных курсов) вроде бы всем по нраву. Проблема в содержании программы этих двух курсов; оно совершенно ужасно. Другое дело, что у нас не так уж много выбора. Известен случай, когда один наш коллега начал первую лекцию для первого курса по алгебре в НМУ (в конце 1990-х) с вычисления группы Галуа конечного поля. Первокурсники не жаловались, потому что почти все закончили матшколу, и прекрасно знали про конечные поля. Те, кто не знали, тоже не жаловались, потому что отсеялись после первой лекции. На матфаке эта стратегия не работает, потому что московские матшкольники (за редкими и приятными исключениями) - чуть ли не слабейшая часть нашего контингента. Ожидать от остальных студентов сильного матшкольного бэкграунда глупо. Соответственно, занятия должны быть равно интересны и тем и этим. Многие лекторы первых курсов решают эту задачу как на мехмате, загружая студентов сложными вычислительными примерами, в равной степени недоступными матшкольникам и нематшкольникам. В результате примерно половину времени студенты занимаются символьными манипуляциями, которые учат их ровно одному: как проще всего обмануть лектора или семинариста, минимизируя тупую работу через всем известные лайфхаки. Косить и забивать - скилл довольно полезный, но посвящать ему столько часов все-таки не надо. К концу 2-го курса мы обретаем 4-5 десятков студентов, из которых больше половины твердо поняли, что ничему на матфаке учиться не будут, а из остальных 20 три четверти не в состоянии заниматься чем бы то ни было кроме как из-под палки. Оставшиеся 3-5 человек, конечно, золотые, но критической массы (после которой студенты могут спокойно научить себя сами и не нуждаются ни в программах, ни в преподавателях) обыкновенно не образуют. Эффект этот хорошо известен: студенты (и вообще любые люди творческих занятий) образуют пирамиду, причем ее нижние ряды универсально унылы и ни к чему неспособны. Казалось бы, можно их без ущерба для человечества удалить (уволить, выгнать с матфака, расстрелять, метод неважен). Но по факту, из удаления нижних рядов пирамиды ее конфигурация не меняется, просто пирамидка проседает, и нижние ряды оставшихся становятся, в свой черед, унылы и ни к чему неспособны. Именно это и происходит на матфаке к концу второго курса, когда из учебного процесса вымывается больше половины студентов: из 40% студентов, которые чем-то занимаются, остается при делах не больше 15. Мораль этого понятна. Учить надо всех, даже безнадежных, а выгонять можно (и нужно) лишь того, кто окончательно забил на учебу и разлагает всех остальных студентов, На матфаке, начиная с третьего курса, не выгоняют почти никого, но и попыток научить чему-то нижние 60% студентов не делается (а им и не нужно). Таким образом, мы оказываемся перед противоречием. С одной стороны, программа первых двух курсов слишком трудна (причем жалуются на это в равной мере и слабые студенты, и сильные). С другой стороны, продвинутый студент, заканчивающий у нас второй курс, приобретает на порядок больше знаний в области core mathematics, чем непродвинутый, чем и закрепляется окончательно непреодолимая пропасть между глупыми и неглупыми сегментами. Чтобы этого не случалось, программу матфака надо (а) радикально облегчить, убрав из нее все темы, требующие усидчивости, заучивания и бездумных вычислений, и максимально упростив все остальное и (б) приблизить к основам core mathematics, радикально (лет этак на 50) обновив материал. К счастью, решение второй задачи является решением первой: апгрейд на 50 лет, необходимый для приближения программы к задачам core mathematics, радикально упростит подачу материала, а недотыкомочная архаика, которую необходимо выкинуть, является не только самой бессмысленной, но и самой трудоемкой частью программы. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% КОММЕНТАРИИ И ЛИТЕРАТУРА %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР. 1. Метрическая геометрия и топология Студентам, чье мышление более геометрично, необходимо освоить с десяток простых геометрических примеров; этой задаче служит курс "метрической геометрии и топологии". Тема метрической геометрии сама по себе бесконечная и бурно развивается, но нам она нужна в основном для безболезненного введения в науку про топологические пространства. Основные темы - метрика, пополнение, сходимость, компактность. Когда-то давно метрические пространства и пополнения давали в матшколах, но вроде бы больше не дают. Литература. Виро О.Я., Иванов О.А., Харламов В.М., Нецветаев Н.Ю. Элементарная топология. Вербицкий М., Топология в задачах Бураго Д. Ю., Бураго Ю. Д, Иванов С. В. Курс метрической геометрии. Misha Gromov. Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces 2. Линейная алгебра - фундамент остальной математики, но читать ее студентам, незнакомым с базовыми алгебраическими понятиями, невозможно. Вне матшкол этого материала не дают. Соответственно, курс начинается с алгебраического ликбеза (кольца, группы, гомоморфизмы) и плавно переходит в начальный кусок линейной алгебры: базис, размерность, определители. Основное упрощение, в сравнении со стандартом, состоит в том, что детерминант определяется через алгебру Грассмана, а не через явную формулу. Шансы уместить этот материал в один семестр я оцениваю в фифти-фифти, но линейная алгебра продолжается во втором семестре, что дает один полный семестр на линейную алгебру; размещение материала по модулям остается на усмотрение лектора. В соответствии с принципами бескоординатного изложения, мы определяем сначала алгебру линейных операторов, по ходу рассказываем, что их можно записать матрицами, но работаем только с линейными операторами до самого конца курса. Матричная запись делается более существенной весной, во второй части этого курса. Литература. А. Шень. Простые и составные числа И. Л. Кантор, А. С. Солодовников. Гиперкомплексные числа. И. М. Гельфанд, А. Шень. Алгебра. В. Б. Алексеев. Теорема Абеля в задачах и решениях. М. М. Постников. Введение в теорию алгебраических чисел. И. Р. Шафаревич. Основные понятия алгебры. А. А. Кириллов. Что такое число? А. И. Кострикин, Ю. И. Манин, Линейная алгебра и геометрия. М.М. Постников. Лекции по геометрии. Линейная алгебра S. Axler. "Linear algebra done Right" 3. Анализ: еще один курс ликбеза. Преподавание анализа в первом семестре ведется в соответствии с учебником анализа для школьников ("Высшая математика для начинающих физиков и техников" Зельдовича и Яглома как образец). Изрядное количество студентов с этим материалом уже знакомы. "Математический анализ для учащихся ПТУ". Литература: Лоран Шварц. Анализ. В. А. Зорич. Математический анализ. У. Рудин. Основы математического анализа. Б. Гелбаум, Дж. Олмстед. Контрпримеры в анализe. Зельдович Я.Б., Яглом И.М. Высшая математика для начинающих физиков и техников. С. И. Шварцбурд, О. С. Ивашев-Мусатов. Алгебра и начала анализа. Учебное пособие для ПТУ. C. Pugh. Real Mathematical Analysis 4. Комбинаторика и теория множеств. Ликбез по общей математической грамотности: теоретико-множественный язык, аксиоматический метод, логика, комбинаторика. Литература. Дуглас Р. Хофстадтер. Гедель, Эшер, Бах: эта бесконечная гирлянда. Метафорическая фуга о разуме и машинах в духе Льюиса Кэрролла. Реймонд Смаллиан. Как же называется эта книга? Реймонд Смаллиан. Принцесса или тигр? Реймонд Смаллиан. Алиса в стране смекалки Мартин Гарднер. Крестики-нолики Мартин Гарднер. От мозаик Пенроуза к надёжным шифрам Ричард Ф.Фейнман. Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман! А. Шень. Игры и стратегии с точки зрения математики А. Шень. Математическая индукция А. Гротендик. Урожаи и посевы. В. И. Арнольд. Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Гук Ю. И. Манин. Математика как метафора. Misha Gromov. Ergostuctures, Ergologic and the Universal Learning Problem. Г. Харди. Апология математика. П. Локхарт. Плач математика. М. Кац, С. Улам. Математика и логика. А. Шень. Программирование. Теоремы и задачи А. Шень. Задачи по математике, предлагавшиеся ученикам математического класса 57 школы Н. К. Верещагин, А. Шень. Начала теории множеств. П. С. Александров, А. И. Маркушевич, А. Я. Хинчин (ред.) Энциклопедия элементарной математики (6 томов). Б. М. Давидович, П. Е. Пушкарь, Ю. В. Чеканов. Математический анализ в 57-й школе. Четырехгодичный курс Барвейс (ред.) Справочная книга по математической логике ВТОРОЙ СЕМЕСТР 1. Линейная алгебра: теория матриц (3-й модуль). Продолжение курса линейной алгебры из первого семестра. Тот (сравнительно небольшой) кусок линейной алгебры, который студенты недополучили из-за перехода к бескоординатному методу, они получат тут. Здесь же впервые определяется понятие нормальной формы математического объекта (само по себе производное от координатной записи), с примерами в виде жордановой нормальной формы, ортонормированных базисов и так далее. Если лектор достаточно резв, у него хватит времени на полярное разложение, но надежды на это мало. Суммарно, на линейную алгебру (без основных понятий и прочего ликбеза) выделен один семестр; скалярное произведение и неравенство Коши-Шварца перенесено в метрическую геометрию. Литература: та же, что и в линейной алгебре первого семестра. 2. Основания теории меры (4-й модуль). Та часть курса теории меры, для которой не нужно ничего, кроме хорошего знакомства с пополнениями и общей топологией. Сама по себе она самодостаточна, и позволяет уверенно пользоваться интегралом, но вопросы сходимости остаются на следующий семестр. Наука про булевы алгебры, аксиомы де Моргана и все такое тоже попадает сюда. Литература: В. Г. Болтянский. Третья проблема Гильберта. А. А. Кириллов, А.Д. Гвишиани, Теоремы и задачи функционального анализа. Terrence Tao. An Introduction to Measure Theory. Terrence Tao. Hilbert's Fifth Problem and Related Topics. Terrence Tao. An Epsilon of Room (pages from year three of a mathematical blog). Каток А.Б., Хасселблат Б. Введение в современную теорию динамических систем. Синай Я.Г. Введение в эргодическую теорию. Богачев В.И. "Основы теории меры" 3. Топология: общая топология и основы гомотопической топологии. Остаток общей топологии включает в себя базовые факты о топологии пространства непрерывных отображений, теорему Тихонова о компактности и теорему Арцела-Асколи. Это нужно для того, чтобы студенты умели строить кривую Пеано вместе с аналогичными контрпримерами, потому что без них большая часть наших усилий по наведению строгости кажется бессмысленной. Топология пространства непрерывных отображений весьма полезна для мотивации понятия гомотопии: в разумной ситуации, отображения гомотопны тогда и только тогда, когда они лежат в одной компоненте связности пространства отображений. Кроме того, студенту нужно освоить десятки примеров топологических пространств, без примеров изучение анализа на многообразиях станет гораздо труднее. Фундаментальные группы и накрытия встречаются в дальнейшем постоянно, от групп Ли до теории чисел, так что разумно (из всей теории гомотопий) ограничиться для первого знакомства ими. Дополнительный бонус - теория Галуа и теория накрытий с категорной точки идентичны, и изучать их параллельно весьма удобно, особенно если студенты уже немного ознакомлены с категорным языком. Литература: та же, что в первом семестре. 4. Алгебра: представления конечных групп и теория Галуа. Курс алгебры полезно отделить от курса линейной алгебры, но по факту оба предмета второго семестра алгебры (представления конечных групп и теория Галуа) состоят в приложении линейной алгебры к задачам другой природы. Теория Галуа, если ее рассказывать правильно (через тензорные произведения алгебр) дает студенту массу возможностей потренироваться с тензорными произведениями. Понятие групповой алгебры, основное в теории представлений конечных групп, позволяет хорошо освоить ассоциативные алгебры, что необходимо, среди прочего, для работы с алгеброй матриц и алгеброй Клиффорда. Теория Галуа легко вмещается в пол-семестра, если ограничиваться характеристикой 0, рассказывать только про поля, и не рассказывать про кольца целых алгебраических чисел. Конечно, без редукции по модулю p у нас не получится посчитать много групп Галуа, но целые алгебраические числа, целые замыкания, поднятия простых идеалов - совершенно другая наука, там нужны конечно порожденые модули, идеалы, локальные кольца, словом, половина курса коммутативной алгебры. Этот материал перенесен в теорию чисел на третьем семестре; во втором семестре рассказывается только та часть теории Галуа, которую можно освоить методами линейной алгебры, для закрепления линейной алгебры. Литература: Б. Л. Ван-дер-Варден. Алгебра. Э. Б. Винберг. Курс алгебры. Серж Ленг. Алгебра. А. А. Кириллов. Элементы теории представлений. P. Aluffi. "Algebra Chapter 0" А. Г. Хованский. Топологическая теория Галуа: разрешимость и неразрешимость уравнений в конечном виде. Ж.-П. Серр. Линейные представления конечных групп. А. Л. Городенцев. "Алгебра. Учебник для студентов-математиков 5. Анализ: дифференциал, гладкие многообразия и пучки. Прежде чем мы сможем перейти к анализу на многообразиях, студенты должны усвоить ключевое понятие (дифференцируемость отображения) и два ключевых факта - теорему об обратной функции и лемму Адамара. Оба факта можно рассказать за месяц, но для закрепления предмета полезно потратить на него полсеместра, добавив туда до кучи полезные вещи о локальном поведении функций (лемму Морса, классификацию экстремумов, гессиан). После этого можно с чистой совестью переходить к многообразиям, потому что другого анализа у нас больше не будет. В этот момент главным предметом становится понятие многообразия, освоение которого требует несколько месяцев работы. Наш выбор существенно ограничен, потому что многие предметы второго курса (топология, дифференциальная геометрия, комплексный анализ) требуют знакомства с теоремой Стокса. Теорему Стокса можно, конечно, рассказывать без многообразий, но получится существенно менее понятно. Соответственно, начинать многообразия позже конца второго семестра нельзя. Вся вторая половина анализа во втором семестре занята доказательствами эквивалентности разных определений многообразия. Традиционное определение -- по совестительству, самое непонятное. Скажем, практически никто из студентов не в состоянии оценить число классов эквивалентности гладких структур на компактном топологическом многообразии, доказав, что оно не более чем счетно; даже самая простая задача на эквивалентность или неэквивалентность атласов является непреодолимым препятствием. Определение через пучки, во-первых, менее двусмысленно (потому что там нет ни измельчений атласа, ни эквивалентностей), во-вторых, легко обобщается куда угодно, в частности, на схемы и особые многообразия. Препятствием тут является само понятие пучка, усвоение которого требует примерно тах же усилий, что и усвоения понятия многообразия. К счастью, для многообразий общего понятия пучка не нужно, а освоить понятие "пучка функций" (подпучка в пучке всех функций) существенно проще, потому что нужна всего одна простая аксиома. Это позволяет существенно упростить работу с многообразиями. Третье определение (многообразие как гладкое подмногообразие в R^n с точностью до эквивалентности) наиболее вразумительно, и многие, вслед за В. И. Арнольдом, предлагают им и ограничиться. Эквивалентность такого определения и более традиционных дается теоремой Уитни, которая сама по себе простая, концептуальная, и прекрасно иллюстрирует понятие разбиения единицы. Содержание второго модуля - эквивалентность трех определений многообразия. Многообразие есть одно из главных понятий геометрии, и на усвоение этого понятия с нуля нужно как минимум полгода (пока не отлежится). Литература: Loring Tu. Introduction to Manifolds. С. М. Львовский. Лекции по математическому анализу. Лоран Шварц. Анализ. В. А. Зорич. Математический анализ. Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология. Р. Ботт, Л. Ту. Дифференциальные формы в алгебраической топологии. S. Ramanan. Global Calculus. С.М.Львовский Лекции по математическому анализу ТРЕТИЙ СЕМЕСТР. 1. Анализ на многообразиях (два модуля). Обойтись без теоремы Стокса к середине второго курса невозможно, потому что иначе нельзя преподавать комплексный анализ. Рассказывать теорему Стокса без многообразий и в локальных координатах можно, но предмет делается угрожающе труден. Проблема в том, что без понятия "векторного расслоения" алгебру де Рама рассказать невозможно, а само понятие векторного расслоения требует примерно столько же времени на усвоение, скольно требует понятие многообразия. Есть четыре определения векторного расслоения, все четыре довольно полезные. Большинство наших студентов знают, что векторное расслоение есть расслоенное пространство со слоем $\R^n$; если добавить к этому "и групповой структурой, гладко зависящей от базы", получается правильное определение, но довольно неудобное, потому что "гладкую зависимость от базы" прописать весьма трудно. Другой минус этого определения (пожалуй, решающий) - если мы думаем про расслоение как про расслоенное пространство, совершенно непонятно, что есть дифференциальный оператор на расслоении: это оператор на сечениях, который на тотальном пространстве расслоения вообще не определен. Топологическая интуиция, которая формируется из определения расслоений через расслоенные пространства, затрудняет понимание связности как дифференциального оператора на сечениях (и дифференциала де Рама, естественно). Поэтому этим определением ограничиваться невозможно. Коль скоро мы уже начали рассказывать студентам про пучки, глупо останавливаться на полдороге. На языке пучков, векторное расслоение есть локально свободный пучок модулей над кольцом гладких функций. Также можно определить расслоение на языке коциклов и функций переклейки. Это очень удобно для локальных аргументов, примерно как определение в терминах карт, атласов и функций перехода удобно для работы с многообразиями. Эквивалентностью чеховских коциклов, как и эквивалентностью атласов, очень трудно пользоваться, но если перевести ее на язык пучков, оно становится понятнее. Четвертое определение (особенно удобное для К-теории): расслоение есть проективный модуль над кольцом гладких функций на многообразии. Эквивалентность этого определения и всех остальных называется "теорема Серра-Суонна". Ее доказательство вытекает из версии теоремы Уитни для векторных расслоений, которая сама по себе полезна для закрепления разбиения единицы и основных операций с расслоениями. Примерно половина курса "анализа на многообразиях" занята векторными расслоениями. Основным примером является касательное расслоение, отождествляемое с пучком дифференцирований кольца функций, и (во второй половине курса) расслоение дифференциальных форм. После того, как студенты освоили векторные расслоения, работать с алгеброй де Рама весьма просто. Дополнительный бонус такого подхода - студенты получают представление о когомологиях де Рама, что должно облегчить работу с когомологиями в курсе алгебраической топологии (потому что все остальные определения когомологий абсолютно контринтуитивны и выглядят при первом ознакомлении как абракадабра). Литература: Р. Годеман. Алгебраическая топология и теория пучков. Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология. Р. Ботт, Л. Ту. Дифференциальные формы в алгебраической топологии. С.М.Львовский Лекции по математическому анализу 2. Алгебры Ли (один модуль). Первая половина "анализа на многообразиях" занята векторными полями и дифференцированиями; чтобы уверенно работать с дифурами, производной Ли и группами и алгебрами Ли через полгода, нужно заранее дать студентам основы алгебр Ли. В один модуль много запихнуть не получится, но классификацию представлений sl(2) и определение и базовые свойства классических алгебр Ли студенты получат. Литература: см. литературу к курсу "Группы и алгебры Ли", семестр 4. 3. Дифференциальные уравнения (один модуль). Стандартный курс обыкновенных дифференциальных уравнений есть "bag of tricks", который никому особо не понадобится, а те, кому он нужен, всегда могут взять спецкурс дифуров. Главное, что нам нужно (и это та часть курса, которую наши студенты сейчас в основном не усваивают) - что векторное поле на компактном многообразии всегда интегрируется до потока диффеоморфизмов. Еще нужна теорема о выпрямлении незануляющегося векторного поля, теорема о существовании и единственности решений ОДУ и (в качестве примера, с которым можно работать) явное решение линейных дифуров, с качественным описанием их решений. Литература: В.И.Арнольд, Обыкновенные дифференциальные уравнения В. И. Арнольд. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Yulij Ilyashenko and Sergei Yakovenko. Lectures on analytic differential equations. 4. Теория меры и основы функционального анализа. Во втором семестре был уже построен интеграл Лебега, но все его применения были тривиальны; теоремы, которые мы доказывали, верны для любой теории интегрирования (зато при таком подходе интеграл Лебега существенно проще, чем интеграл Римана). В третьем семестре мы доказываем основные теоремы теории меры: теорему Фубини, теорему Радона-Никодима, теоремы Лебега о сходимости, регулярность меры Лебега, явное описание измеримых множеств. Эта часть курса занимает один модуль, полный курс теории меры на втором курсе не особо и нужен, но без некоторых результатов, таких, как теорема Фубини, обойтись невозможно. Без теорем Лебега о сходимости и полноты пространства L^1 трудно обойтись в курсе функционального анализа во второй половине третьего семестра; точный набор теорем остается на усмотрение преподавателя. Вторая половина этого курса ("Основы функционального анализа") дает базовое представления о гильбертовых пространствах, рядах Фурье и топологических векторных пространствах. В качестве приложения, лектор может определить потоки и обобщенные функции и применить их к решению УрЧП, либо рассказать куски квантовой механики. Литература: У. Рудин. Функциональный анализ. А. Я. Хелемский. Лекции по функциональному анализу. Nicole Berline, Ezra Getzler, Michele Vergne. Heat Kernels and Dirac Operators. David Gilbarg, Neil S. Trudinger. Elliptic Partial Differential Equations of Second Order. М. Рид, Б. Саймон. Методы современной математической физики. Н. Бурбаки. Топологические векторные пространства. Дж. Мёрфи. C*-алгебры и теория операторов K. Davidson, C*-algebras by example J. B. Conway. A course in functional analysis. В.И.Богачев, О.Г.Смолянов. Топологические векторные пространства и их приложения В.И.Богачев, О.Г.Смолянов. Действительный и функциональный анализ. 5. Теория чисел и основы коммутативной алгебры. Курс теории Галуа во втором семестре ограничивался линейно-агебраическим аспектом теории. Если мы хотим посчитать группы Галуа, нужно пользоваться редукцией по модулю p, но это требует изрядного количества коммутативной алгебры. Курс алгебраической теории чисел в третьем семестре начинается с введения в коммутативную алгебру (идеалы, модули, локализаяция, нетеровы кольца, теорема Гильберта о базисе). Эта наука используется для определения целых замыканий и кольца целых алгебраических чисел. Коммутативная алгебра имеет полезное применение в теории чисел; используя язык дедекиндовых колец, можно просто описать дискриминант, ветвление и другие важные характеристики колец целых алгебраических чисел и их расширений. Выбор теоретико-числовых приложений для иллюстрации этих методов остается за лектором. Литература. М. Атья, И. Макдональд. Введение в коммутативную алгебру. Н. Коблиц, p-Адические числа, p-адический анализ и дзета-функции C.Б.Каток p-адический анализ в сравнении с вещественным Ж.-П. Серр. Курс арифметики. Цфасман, Влэдуц, Ногин "Алгеброгеометрические коды: основные понятия" Iwaniec, Kowalski "Analytic number theory" Дж. Касселс, А. Фрелих (ред.) Алгебраическая теория чисел. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% ВТОРОЙ КУРС (второй семестр) %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 1. Основы дифференциальной геометрии. Связность Леви-Чивита, кручение, кривизна и геодезические, с небольшим экскурсом в симплектическую геометрию. После того, как студенты усвоили векторные расслоения, особенных трудностей в постижении связностей возникать не должно. Опыт показывает, что мехматский курс "кривые и гиперповерхности в $\R^3$" с базисами Френе, формулами Гаусса-Вейнгартена и прочей адской вычислительной дребеденью не только не нужен для изучения связности Леви-Чивита, он этому изучению прямо мешает, ибо демотивирует и порождает неправильную интуицию. Литература: В. И. Арнольд. Математические методы классической механики. Дж. Милнор. Теория Морса. Артур Бессе. Многообразия Эйнштейна. М. Громов. Знак и геометрический смысл кривизны. Sylvestre Gallot, Dominique Hulin, Jacques Lafontaine, Riemannian Geometry. 2. Группы и алгебры Ли. Обычный курс групп и алгебр Ли подразделяется на 3 части: (а) формальные группы и алгебры и их эквивалентность, теорема ПБВ, ряд Кэмпбела-Хаусдорфа (б) полупростые алгебры, максимальные торы, критерий Картана полупростоты, полупростота категории представлений, свойства группы Вейля и (в) классификация систем корней и построение простой алгебры Ли по диаграмме Дынкина. Часть (в) в курс очевидно не поместится, разве что в виде очень краткого обзора. Часть (б) менее фундаментальна, но существенно проще. Думаю, что лектору придется сосредоточиться на (а) или (б), а все остальное пойдет по остаточному принципу. В Вышке обыкновенно половина времени уходит на ПБВ, а группы Вейля если и появляются, то в самом конце и довольно кратко. В любом случае, группы Ли суть основа дифференциальной геометрии и одно из самых полезных понятий математики, без них обойтись невозможно. Литература: Ж.-П. Серр. Алгебры Ли и группы Ли. М. М. Постников. Лекции по геометрии. Семестр V. Группы и алгебры Ли. Дьёдонне Ж., Керрол Дж., Мамфорд Д. Геометрическая теория инвариантов. Р. Стейнберг. Лекции о группах Шевалле. Igor Dolgachev. Lectures on invariant theory. William Fulton, Joe Harris. Representation Theory. A First Course. Дж. Ф. Адамс. Лекции по группам Ли. Н. Бурбаки. Группы и алгебры Ли. Винберг Э. Б., Онищик А. Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам. Винберг Э.Б., Попов В.Л. Теория инвариантов (ВИНИТИ, т.55) Д. Б. Фукс. Когомологии бесконечномерных алгебр Ли. Ю. И. Манин. Введение в аффинные схемы и квантовые группы. A.Kirillov Jr. An Introduction to Lie Groups and Lie Algebras Х. Крафт. Геометрические методы в теории инвариантов Дж. Хамфрис, Введение в теорию алгебр Ли и их представлений. 3. Комплексный анализ. Традиционно в России комплексный анализ состоит из двух частей: подсчет определенных интегралов через вычеты и нахождение явной формулы для конформного отображения, переводящего заданную область в C в диск. Связано это, видимо, с тем, что за прреподавание ТФКП в России отвечал Лаврентьев, который применял комплексный анализ к уравнениям гидродинамики, и получал ордена за умение выписать явную формулу конформного отображения. Нам этих орденов все равно не дадут. Базовая вещь, которую студенты обязаны усвоить - это формула Коши (прямое следствие из теоремы Стокса) и аналитичность комплексно-дифференцируемых функций; в числе полезных следствий - принцип аналитического продолжения, гармоничность голоморфных функций и принцип максимума. Другая идея, которую необходимо усвоить - то, что группа голоморфных автоморфизмов диска есть группа изометрий метрики Пуанкаре; это утверждение обыкновенно выводится из леммы Шварца. Это позволяет строить естественные метрические структуры ("псевдометрику Кобаяши") на комплексных многообразиях. Наконец, студенты должны усвоить теорему Монтеля и учение о нормальных семействах, из которого выводится теорема Римана о том, что любая собственная односвязная область на комплексной прямой биголоморфна диску. В оставшееся время можно рассказать про римановы поверхности, фуксовы группы, и построить метрику постоянной кривизны, но это уже на усмотрение лектора. Как вариант - рассказать про голоморфную динамику, множества Фату и множества Жюлиа (нормальные семейства тут тоже пригодятся). Литература: Анри Картан. Элементарная теория аналитических функций одного и нескольких комплексных переменных. Б. В. Шабат. Введение в комплексный анализ. Дж. Милнор. Голоморфная динамика. Вводные лекции. Eberhard Freitag, Rolf Busam, Complex Analysis. С.М.Львовский. Лекции по комплексному анализу Л. Альфорс. Лекции по квазиконформным отображениям Theodore Gamelin, Complex Analysis 4. Алгебраическая топология. Студенты уже знакомы с когомологиями де Рама; задача этого курса - помочь им лучше разобраться с когомологиями, и немного освоить гомотопические методы. Основной технический прием - длинная точная последовательность, ассоциированная с точной последовательностью комплексов. Пользуясь этим аргументом, можно доказать эквивалентность двух теорий когомологий при следующих условиях: (а) у нас есть морфизм из одной в другую (б) для шара эти теории когомологий эквивалентны (в) у этих теорий когомологий есть точная последовательность Майера-Виеториса (либо точная последовательность пары). Большая часть курса теории когомологий состоит в систематическом применении этого принципа: из него бесплатно выводится двойственность Пуанкаре и эквивалентность разных когомологических теорий. Формула Кюннета легко доказывается в клеточных когомологиях; ограничением на диагональ получаем умножение в когомологиях. Эквивалентность этого определения и умножения когомологи де Рама очевидна. В качестве приложения можно доказать теорему Хопфа о том, что алгебры Хопфа свободны, и вычислить когомологии групп Ли. Литература: А. Хэтчер. Алгебраическая топология. А. Т. Фоменко, Д. Б. Фукс. Курс гомотопической топологии. Дж. Милнор, Дж. Сташеф. Характеристические классы. В. А. Васильев, Введение в топологию М. Атья. Лекции по K-теории. Дж. Ф. Адамс. Стабильные гомотопии и обобщенные теории когомологий. Дж. Ф. Адамс. Бесконечнократные пространства петель. Деннис Салливан. Геометрическая топология. Yves Felix, Steve Halperin, Jean-Claude Thomas. Rational Homotopy Theory. Tammo tom Dieck. Algebraic Topology. J. P. May, A Concise Course in Algebraic Topology J. P. May and K. Ponto. More Concise Algebraic Topology. Ф. Гриффитс, Дж. Морган. Рациональная теория гомотопий и дифференциальные формы. А. С. Мищенко. Векторные расслоения и их применения. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% ИСТОРИЧЕСКИЙ КОММЕНТАРИЙ (о преподавании на матфаке). При составлении программы, изрядное количество курсов пришлось выкинуть или порезать. Я старался не трогать курсы, которые не вызывают нареканий. ГЕОМЕТРИЯ Предмет "геометрия" -- ублюдок с интересной историей. Его непосредственный предшественник есть "аналитическая геометрия", введенная в программу мехмата, кажется, под давлением П. С. Александрова. На мехмате преподавание "аналитической геометрии" несет две функции: обучить полных идиотов координатному методу (своими глазами видел успешно переходившего с курса на курс мехматянина, который не знал, как найти координаты центра отрезка по координатам его концов), и обучить всех остальных нормальной форме квадратичных поверхностей в R^3 (всем 19 случаям, или сколько их там). Без координатного метода, конечно, нельзя, но нормальная форма квадратичных поверхностей - это перебор. Когда создавался НМУ, в программе первого курса появилась "геометрия", в основном, чтобы занять пустое пространсто, оставшееся от мехматской программы после удаления идиотской "аналитической геометрии". Программа этого курса - мутная смесь из мало связанных предметов, популярных в середине и конце XIX века: проективной геометрии, геометрии Лобачевского, геометрии конических сечений, инверсии и двойного отношения. На практике, в 80% курс "геометрии" в НМУ превращался в курс гиперболической тригонометрии, с десятками невразумительных тождеств, выражающих стороны и углы геометрических фигур на плоскости Пуанкаре через гиперболические синусы. Когда из программы НМУ делали программу матфака, недотыкомка никуда не делась, но наиболее токсичную часть (геометрию Лобачевского) из нее таки удалили, поместив на это место операции с матрицами и квадратичными формами. В результате, программа "геометрии" дублирует на 40-60% программу "алгебры", а оставшееся место лектор забивает в меру своего разумения четверным отношением, аксиомами Паппа-Дезарга, коническими сечениями и прочей разнородной тягомотиной. Бессмысленность, бессистемность и нелепость программы лекторы компенсируют избытком трудоемких вычислительных задач, благо материал позволяет, что делает курс "геометрии" универсально ненавистным и отвратительным. Сборная солянка из малосвязанных фактов, вольно дополненная бессмысленными вычислениями, не имеет права на существование. Как говорил в аналогичной ситуации персонаж фильма "Восставший из ада 2: Обречённый" "ДОКТОР РЕКОМЕНДУЕТ АМПУТАЦИЮ". Пациент скорее мертв, чем жив, и никакие диализные мешки ему уже не помогут. АНАЛИЗ Программа "анализа" на матфаке ни в чем не отличается от мехматской, но мехмат уделяет анализу 2/3 времени и усилий. Идея взять мехматский анализ, и добавить к нему еще десяток предметов, от групп Ли до теории чисел, очевидно, ни к чему хорошему привести не может. Смертельно перегруженные студенты - естественное следствие такой практики. К счастью, в современной версии анализ вдесятеро проще, чем в дедовской (она же мехматская). А делать это надо так. Сначала (для ликвидации разрыва между матшкольниками и нематшкольниками), надо быстро повторить анализ в рамках "математического анализа для ПТУ", тем более что в большинстве продвинутых школ (СУНЦ, 57, 179 и так далее) его все равно проходят. Проблема освоения трудоемкой и антиинтуитивной техники эпсилон-дельта решается весьма просто отказом от этой техники; учение о непрерывности надо перенести в курс "топологии и метрической геометрии" (сходимость последовательностей, компактность), где техника эпсилон-дельта воленс-ноленс заменяется языком открытых и замкнутых множеств и сходящихся последовательностей. Перевод с этого языка на язык эпсилон-дельта - дело довольно нетрудное, хотя неприятное и обыкновенно ненужное. Интеграл Римана, этот противоестественный кусок тошнотворной математической архаики, идет на помойку истории, а интегрирование выносится в отдельный курс "теории меры". Для многих прикладных задач интеграл Лебега - это, конечно, перебор, но тут достаточно школярского определения интеграла как площади под графиком, вполне уместного в курсе "математического анализа для студентов ПТУ". Координатный метод, когда-то бывший революционным, превращает преподавание многомерного анализа и тензорного исчисления в реплику дантовского ада. Соответственно, чем раньше студентов удастся перевести на бескоординатный язык, тем лучше. Координаты, конечно, все равно нужны при решении задач, но думать и говорить на этом языке практически невозможно. Таким образом нам удастся загнать осиновый кол в грудь "анализу" и похоронить его к чертовой матери. ЛОГИКА Преподавание матлогики на первом курсе вызывает массу нареканий, в первую очередь у самих преподавателей. Программа, как она есть сейчас, состоит из нескольких важных блоков: общий математический ликбез (исчисление предикатов, кванторы, основы теории множеств), булева алгебра, и основы теории типов вплоть до теоремы о компактности. Теория типов на первом курсе непонятна даже самым умным студентам, ее надо отнести на 3-4 курс, булева алгебра переносится в курс теории меры (или топологии: она вполне уместна и там и там), на ликбез остается один модуль. ДИСКРА Сейчас она состоит из ликбеза (биномиальные коэффициенты, треугольник Паскаля, производящие функции) и продвинутой комбинаторики, которая вызывает массу нареканий у студентов (потому что трудная) и в дальнейшем изучении core mathematics не особо полезна. Эту часть можно безболезненно выкинуть и перенести в спецкурс, а ликбез перенести на первый курс, в освободившийся от продвинутой матлогики модуль. ДИФУРЫ Еще один предмет, вызывающий огромное количество нареканий. Вышка - результат работы учеников Арнольда (а косвенно, и его лично, поскольку В. И. был одним из основателей НМУ), а Арнольд много лет преподавал дифуры на мехмате, и сделал в этом курсе изрядное количество инноваций. Единственная инновация, которую удалось применить на мехмате (и единственное отличие мехматских дифуров в исполнении Арнольда от дифуров в исполнении других лекторов) - половина задач по курсу и на экзамене состояли из фазовых портретов функций. У других лекторов все задачи сводились к тупому счету и применению десятка искусственных приемов для решения дифуров в квадратурах. Что интересно, 95% студентов мехмата ничего не понимали, боялись фазовых портретов как чумы, и гораздо комфортнее чувствовали себя с тупым счетом. В результате, экзамены проходили как лотерея; студент, получивший билет с тупым счетом, уходил домой довольный, а несчастные жертвы фазового портрета шли на пересдачу, причем старались попасть к семинаристам другого потока, где дифуры читали без фазовых портретов. Составители курса дифуров (официально он называется "динамические системы") на матфаке пошли дальше, и добавили в тот же самый курс классическую механику, теорему Стокса и дифференциальные формы. В принципе, в "Математических методах классической механики" все эти темы содержатся в аппендиксах в конце книги; думаю, Арнольд был бы счастлив такой широкой интерпретации курса дифуров. В теории это все звучит здорово, но на практике, более неудачного курса у нас, наверное, нет. Курс динамических систем и дифуров содержит все премудрости символьного решения в квадратурах, доступного студентам мехмата, фазовые портреты, монодромию решений вокруг особой точки, спецфункции и огромный кусок дифференциальной геометрии. От фазовых портретов наши студенты плачут не меньше, чем мехматяне 1980-х (насчет мехматян не помню, но наши студенты в основном жалуются на некорректность задач про фазовые портреты). Кусок дифференциальной геометрии читается по остаточному принципу после того, как студенты усвоили (или, как водится, не усвоили) чудовищный объем агрессивной архаики с решением в квадратурах, спецфункциями и фазовыми портретами. К тому моменту хорошие студенты с алгеброй де Рама уже знакомы, а плохие выпадают в осадок раньше, но берут свое, как и на мехмате, списыванием либо хорошо прокачанным скиллом решения в квадратурах. Суммируя: этот курс чудовищно перегружен архаикой, куски классической механики и дифференциальной геометрии пришиты к нему кривыми нитками сикось-накось и никакого полезного эффекта не имеют, в общем, пациент совершенно мертв и уже пованивает. Если мы хотим читать студентам алгебру де Рама, лемму Пуанкаре и все подобное, это надо рассказывать не в конце второго курса, а в самом начале, потому что хорошие студенты усваивают эту науку к концу первого; и надо давать по ней кучу задач, чтобы хорошие студенты обучали всех прочих, рассказывая им решения. Читать это дело в рамках курса дифуров, где в листочках по-любому 90% задач будут про дифуры, совершенно бессмысленно. Нужные результаты из курса по дифурам - это полторы теоремы (существование и единственность решений ОДУ, линеаризация векторных полей), которые можно рассказать за полтора месяца; все остальное должно лежать в гробу и в белых тапочках, украшенное букетом. ЕЩЕ ЛИТЕРАТУРА Полезные книги по прочим наукам (отсюда: http://lj.rossia.org/community/ljr_math/47028.html ). Алгебраическая геометрия. Дж. Мамфорд. Алгебраическая геометрия. Часть 1. Комплексные проективные многообразия. D. Mumford. The Red Book of Varieties and Schemes К. Вуазен, Теория Ходжа и комплексная алгебраическая геометрия Р. Хартсхорн, Алгебраическая геометрия. R. Lazarsfeld. Positivity in Algebraic Geometry. Д. Каледин. Введение в алгебраическую геометрию. Ф. Гриффитс, Дж. Харрис. Принципы алгебраической геометрии. Jean-Pierre Demailly. Complex analytic and differential geometry. A. Beauville. Complex Algebraic Surfaces. Х. Клеменс, Я. Коллар, С. Мори. Многомерная комплексная геометрия. Ravi Vakil. Foundations of algebraic geometry. Qing Liu. Algebraic Geometry and Arithmetic Curves. В. И. Данилов. Алгебраические многообразия и схемы (обзор ВИНИТИ). В. И. Данилов. Когомологии алгебраических многообразий (обзор ВИНИТИ). D. Eisenbud. Commutative algebra with a view toward algebraic geometry Kenji Matsuki "Introduction to the Mori theory" Daniel Huybrechts. Comlpex geometry: An introduction. D. Eisenbud, J. Harris, The geometry of schemes. Fantechi, B., Gottsche, L., Illusie, L., Kleiman, S., Nitsure, N., Vistoli, A. "Fundamental algebraic geometry. Grothendieck's FGA explained." P. Deligne. Le groupe fondamental de la droite projective moins trois points. O. Debarre. Higher-dimensional algebraic geometry. D. Arapura. Algebraic Geometry over the Complex Numbers. И. Р. Шафаревич, Основы алгебраической геометрии. Д. Мамфорд. Абелевы многообразия. Ch. Birkenhake, H. Lange, Complex Abelian Varieties, Springer 2004 Гомологическая алгебра. С. И. Гельфанд, Ю. И. Манин Методы гомологической алгебры. Введение в когомологии и производные категории. Том 1 А. А. Суслин. Алгебраическая К-теория и гомоморфизм норменного вычета (обзор ВИНИТИ). C. Weibel "An introduction to homological algebra" C. Weibel "The K-book" А. Кузнецов. Гомологическая алгебра: записки лекций и другие материалы. Теория чисел. Ж.-П. Серр. Когомологии Галуа. J. Neukirch. Cohomology of number fields. J. Neukirch, Algebraic number theory. J. Milne. Algebraic Number Theory J. Milne. Class Field Theory Cornell, G., Silverman, J. H. (Eds.), Arithmetic Geometry. Дж. Касселс, А. Фрелих (ред.) Алгебраическая теория чисел. Silverman "The arithmetic of elliptic curves" Diamond, Shurman, "A First Course in Modular Forms" Коблиц "Введение в модулярные формы и эллиптические кривые" Цфасман Влэдуц Ногин "Алгеброгеометрические коды: основные понятия" Iwaniec, Kowalski "Analytic number theory" M. Kneser Quadratische Formen, Springer 2002 J. Humphreys, Arithmetic groups, Springer 1980; Мир 1983 J. Humphreys, Reflection Groups and Coxeter Groups, Camb Univ Press 1990 W. Ebeling, Lattices and Codes. Advanced Lectures in Math, Vieweg 1994 Sagan, The Symmetric Group: Representations, combinatorial algorithms, and symmetric functions Bosch, Lutkbohmert, Raynaud. Neron models. Дж. Милнор. Введение в алгебраическую K-теорию. Геометрия М. Громов. Гиперболические группы. Артур Бессе. Четырёхмерная риманова геометрия. Семинар Артура Бессе 1978 - 1979 Dusa McDuff and Dietmar Salamon, Introduction to symplectic topology. Michele Audin, Jacques Lafontaine (editors) Holomorphic Curves in Symplectic Geometry. D. Joyce. Compact manifolds with special holonomy. Элиашберг Я., Трейнор Л. (под редакцией). Лекции по симплектической геометрии и топологии. H. B. Lawson and M.-L. Michelsohn. Spin Geometry. A. Moroianu, Lectures on Kahler Geometry M. Gromov. Carnot-Caratheodory spaces seen from within F. Forstneric. Stein Manifolds and Holomorphic Mappings S. K. Donaldson. Riemann Surfaces В. И. Арнольд, Б. А. Хесин. Топологические методы в гидродинамике. У. Тёрстон. Трехмерная геометрия и топология Н. М. Мишачев, Я. М. Элиашберг. Введение в h-принцип. Р. Уэллс. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях. Р. Ганнинг, X. Росси. Аналитические функции многих комплексных переменных.