\documentclass[12pt]{article} \input{listki.tex} % version 1.0, 09.09.2010 % version 2.0, 23.09.2010, много ошибок % version 2.1, 24.09.2010, еще несколько \newcommand{\version}{version 2.1,\ \ 24.09.2010} \begin{document} Для зачета по каждому листку надо сдать все задачи со звездочками, либо все задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками из того же листочка. Задачи, обозначенные (!), следует сдавать всем. \listok{1}{Теория меры 1: Объемы многогранников} \subsection{Кольца подмножеств и конечно-аддитивные меры} \определение Пусть задано множество $S$. Множество всех подмножеств $S$ обозначается $2^S$. Пусть ${\goth U}\subset 2^S$ - некоторый набор подмножеств $S$. $\goth U$ называется {\бф кольцом}, если для любых $A, B\in {\goth U}$, объединение $A\cup B$, пересечение $A\cap B$ и дополнение $A\backslash B$ принадлежит ${\goth U}$. В этом случае ${\goth U}$ называется {\бф подкольцом} в $2^S$. \ео \задача Пусть $S$ конечно. Опишите все подкольца в $2^S$ и найдите их число для $|S|=5$ (множества из 5 элементов). \ез \определение Характеристической функцией подмножества $U\subset S$ называется функция \begin{align*} \chi_U:\; S \arrow \{0,1\}\ \ |\ \ & \chi_U(x) =1, \ \ \text{если} \ \ x\in U & \chi_U(x) =0, \ \ \text{если} \ \ x\notin U \end{align*} \ео \задача Пусть ${\goth U}\subset 2^S$ - набор подмножеств, а $R_{\goth U}=\{\chi_U\}$ множество всех характеристических функций для всех $U\in {\goth U}$. Рассмотрим $\{0,1\}$ как поле из двух элементов. Это задает естественную аддитивную и мультипликативную структуру на множестве всех отображений из $S$ в $\{0,1\}$ (поточечное сложение и умножение). Докажите, что $R_{\goth U}$ образует кольцо (возможно, без единицы) тoгда и только тогда, когда ${\goth U}$ это кольцо. \ез \определение Пусть ${\goth V}\subset 2^S$ - произвольный набор подмножеств. Минимальное подкольцо в $2^S$, содержащее ${\goth V}$, называется {\бф подкольцом, порожденным ${\goth V}$}. \ео \задача[**] Пусть в ${\goth V} \subset 2^S$ $N$ элементов. Какая максимальная мощность может быть у подкольца, порожденного ${\goth V}$? \ез \определение Пусть задано подмножество $S\subset \R^n$. {\бф Выпуклой оболочкой} $S$ называется наименьшее выпуклое подмножество, содержащее $S$. \ео \задача \итем Докажите, что выпуклая оболочка $S$ это множество всех векторов вида $\sum \alpha_i s_i$, где $\{s_i\}$ это конечный набор точек из $S$, а $\alpha_i$ вещественные числа, $0\leq\alpha_i\leq 1$, $\sum \alpha_i=1$. \итем[*] Докажите, что любой вектор в выпуклой оболочке $S\subset \R^n$, представляется в виде $\sum_{i=1}^{n+1} \alpha_i s_i$, где $s_1, ... s_{n+1}$ - точки $S$, а $0\leq\alpha_i\leq 1$, $\sum \alpha_i=1$. \ез \определение {\бф Симплексом} в $\R^n$ называется выпуклая оболочка множества $\{ x_0, ... x_n\}$ из $n+1$ точек в $\R^n$. Такой симплекс называется {\бф натянутым на точки $x_0, ... x_n$}. \ео \задача Перечислите все классы гомеоморфизма симплексов в $\R$, $\R^2$, $\R^3$. \ез \определение Пусть $\Delta(x_0, ... x_n)$ - симплекс, натянутый на точки $\{ x_0, ... x_n\}$. {\бф Гранью} $\Delta$ размерности $k$ называется выпуклая оболочка $k+1$ точек из $\{ x_0, ... x_n\}$. \ео \задача Ребра (одномерные грани) $n$-мерного симплекса $\Delta(x_0, ... x_n)$ образуют граф. Предположим, что все $x_i$ попарно различны. Сколько ребер в этом графе? Изобразите его. Сколько разных $k$-мерных граней есть у $\Delta(x_0, ... x_n)$? \ез \определение Кольцо полиэдров (многогранников) есть кольцо подмножеств в $\R^n$, порожденное замкнутыми симплексами. Многогранником называется элемент этого кольца. \ео \задача Докажите, что каждый многогранник можно представить в виде конечного объединения симплексов, пересекающихся по граням (такое разбиение называется {\бф триангуляцией} многогранника). \ез \задача[*] Докажите, что каждый выпуклый, замкнутый многогранник можно представить в виде конечного пересечения симплексов. \ез \определение Два многогранника $A$, $B$ называются {\бф равносоставленными}, если их можно триангулировать, разрезав на симплексы $A_1, ... A_k$, $B_1, ... B_k$ таким образом, что $A_i$ конгруэнтен $B_i$ для любого $i$. \ео \задача Докажите, что равносоставленность это соотношение эквивалентности \ез \задача Докажите, что любой треугольник $A$ равносоставлен паралеллограмму с таким же основанием и высотой в половину высоты $A$. \ез \задача Докажите, что любой паралеллограмм равносоставлен прямоугольнику с таким же основанием и же высотой \ез \задача[*] Докажите, что прямоугольник со сторонами $a$ и $b$ и прямоугольник со сторонами $c$ и $d$ равносоставлены, при условии $ab=cd$. \ез \определение Пусть ${\goth U}\subset 2^S$ кольцо подмножеств. Отображение $\mu:\; {\goth U}\arrow \R$ называется {\бф конечно аддитивной мерой}, или же {\бф аддитивной функцией множества}, или {\бф валюацией}, если для любых $A, B\in {\goth U}$, \[ \mu(A\cup B) = \mu(A) + \mu(B) - \mu(A\cap B) \] Валюация называется {\бф неотрицательной}, если она принимает неотрицательные значения. Очевидно, валюации образуют линейное пространство над $\R$. \ео \задача Пусть $S$ это отрезок $[0,1]$, а ${\goth U}$ множество конечных объединений отрезков, интервалов и полуинтервалов. Докажите, что ${\goth U}$ это кольцо. Докажите, что отображение $\coprod_i A_i \arrow \sum |A_i|$ (несвязное объединение отрезков переводится в сумму их длин) это неотрицательная конечно-аддитивная мера. \ез \задача[!] Пусть ${\goth U} = 2^S$, где $S$ это конечное множество. Обозначим за $L$ линейное пространство всех конечно-аддитивных мер на ${\goth U}$. Найдите размерность $L$ над $\R$. \ез \задача Пусть дан $\Q$-линейный гомоморфизм $\R\stackrel \xi\arrow \R$,\footnote{Здесь $\R$ рассматривается как векторное пространство над $\Q$.} множество $S$ и кольцо подмножеств ${\goth U}\subset 2^S$. Докажите, что для любой конечно-аддитивной меры $\mu:\; {\goth U}\arrow\R$, композиция $\mu\circ\xi$ это опять конечно-аддитивная мера. \ез \задача Пусть задана точка $x\in S$, кольцо подмножеств ${\goth U}\subset 2^S$, и функция $\mu:\; {\goth U}\arrow\R$, принимающая значения $\mu(U)=1$ для $x\in U$ и $\mu(U)=0$ для $x\notin U$. Докажите, что это конечно-аддитивная мера. \ез \замечание Напомним, что движением в $\R^n$ (или любом другом метрическом пространстве) называется любая изометрическая биекция. Два подмножества называются {\бф конгруэнтными}, если одно в другое можно перевести движением. \еза \определение Пусть ${\goth U}\subset 2^{\R^n}$ некоторое кольцо множеств. Конечно-аддитивная мера $\mu:\; {\goth U}\arrow\R$ называется {\бф инвариантной}, если $\mu(A)=\mu(B)$ для конгруэнтных фигур $A, B\subset \R^n$. \ео \задача Пусть ${\goth U}\subset 2^{\R^n}$ кольцо многогранников, и пусть $\mu:\; {\goth U}\arrow\R$ инвариантная неотрицательная конечно-аддитивная мера. \енум \итем {\бф Вырожденный симплекс} -- это симплекс, лежащий внутри какой-то гиперплоскости. Докажите, что симплекс $\Delta(x_0, x_1, ... x_n)$ вырожденный тогда и только тогда, когда вектора $x_1-x_0, x_2-x_0, ... x_n -x_0$ линейно зависимы. \итем Докажите, что $\mu(I)=0$, где $I$ это вырожденный симплекс. \итем Докажите, что $\mu(A) = \mu(\bar A)$, где $A$ многогранник, а $\bar A$ - его замыкание. \итем Докажите, что $\mu(A)= \mu(B)$, если $A$ и $B$ равносоставлены. \ее \ез \subsection{Объем} \определение Пусть $V$ $n$-мерное векторное пространство над $\R$. Рассмотрим одномерное векторное пространство $\Lambda^n(V)$ анти-симметричных форм старшей степени. Это пространство также называется {\бф пространством форм объема}. Зафиксируем ненулевой вектор $\nu \in \Lambda^n(V)$. Если в $V$ задан симплекс $\Delta = \Delta(x_0, .... x_n)$, {\бф объемом} $\Delta$ называется неотрицательное вещественное число \[ \int_\Delta \nu:= |\nu (x_1-x_0, x_2 - x_0, ... x_n-x_0)|. \] \ео \задача[!] \label{_integral_basic_Zadacha_} В этих условиях, докажите, что \енум \итем $\int_\Delta \nu > 0$ тогда и только тогда, когда $\Delta$ невырожден \итем \[ \int_{\Delta(x_0, .... x_n)} \nu= \int_{\Delta(x_{\sigma_0}, .... x_{\sigma_n})}\nu, \] где $(x_0, .... x_n) \arrow (x_{\sigma_0}, .... x_{\sigma_n})$ произвольная перестановка \итем Если симплексы $\Delta$ и $\Delta'$ конгруэнтны, то $\int_\Delta \nu=\int_{\Delta'} \nu$ \итем[*] Если симплекс $\Delta$ представлен в виде объединения непересекающихся симплексов $\Delta = \Delta_1 \coprod \Delta_2$, то \[ \int_\Delta \nu= \int_{\Delta_1} \nu+ \int_{\Delta_2}\nu. \] \ее \ез \задача Пусть симплекс $\Delta$ представлен в виде объединения непересекающихся симплексов $\Delta =\coprod_i \Delta_i$. Докажите, что \[ \int_\Delta \nu= \sum \int_{\Delta_i} \nu. \] \ез \указание Это свойство формально следует из свойств объема, перечисленных в задаче \ref{_integral_basic_Zadacha_}. \eu \задача[*] Докажите, что свойства объема, перечисленные в задаче \ref{_integral_basic_Zadacha_}, задают отображение $\Delta \arrow \int_\Delta \nu$ единственным образом, с точностью до постоянного положительного множителя. \ез \задача[!] Пусть задан многогранник $C\subset V$, и $C= \coprod A_i = \coprod B_i$ его разбиение на непересекающиеся симплексы. Докажите, что \[ \sum \int_{A_i}\nu = \sum \int_{B_i}\nu. \] Это число называется {\бф объемом многогранника $C$}, и обозначается $\int_C\nu$. Докажите, что эта функция задает неотрицательную, инвариантную конечно-аддитивную меру на кольце многогранников. \ез \задача[!] Пусть $V$ евклидово векторное пространство, а $C$ единичный куб (куб с ребром 1).\footnote{Куб можно определить, например, следующим образом. Выберем ортонормальный базис $\{ \xi_1, ... \xi_n\}$ в $V$. Рассмотрим множество линейных комбинаций вида $\sum \alpha_i \xi_i$, где $0\leq\alpha_i\leq 1$. Это множество называется {\бф единичный куб} в $V$.} Докажите, что существует единственная инвариантная неотрицательная конечно-аддитивная мера $\mu$ на кольце многогранников, такая, что $\mu(C)=1$. Запишите ее явно. \ез \определение Эта конечно-аддитивная мера называется {\бф евклидов объем многогранника}. \ео \subsection{Третья проблема Гильберта} \определение Два многогранника называются {\бф равновеликими}, если они имеют одинаковый объем. Легко видеть, что равносоставленные многогранники равновелики. \ео {\бф Третья проблема Гильберта} Постройте два равновеликих многогранника, которые не равносоставлены. \hfill \задача[*] Пусть $A$ и $B$ равновеликие многогранники на плоскости (многогранники на плоскости называются {\бф многоугольники}, или {\бф полигоны}). Докажите, что они равносоставлены. \ез \замечание Это утверждение называется {\бф теорема Бойяи-Гервина}. \еза \замечание Предположим, что существует конечно-аддитивная мера $\mu:\; {\goth U} \arrow \R$ на кольце многогранников, такая, что $\mu(A)\neq \mu(B)$, а $A$ и $B$ равновелики. Тогда $A$ и $B$ не равносоставлены. \еза \задача[!] Выведите из теоремы Бойяи-Гервина следующее утверждение. Пусть задана конечно-аддитивная мера $\mu:\; {\goth U} \arrow \R$, где ${\goth U}$ - кольцо многоугольников (многогранников в $\R^2$). Докажите, что $\mu=\Vol \circ \xi$, где $\Vol:\; {\goth U} \arrow \R$ конечно-аддитивная мера, заданная объемом, а $\xi:\; \R\arrow \R$ - $\Q$-линейный гомоморфизм абелевых групп. \ез \задача Постройте нетривиальный (не $\R$-линейный) $\Q$-линейный гомоморфизм $\xi:\; \R\arrow \R$. Используйте аксиому выбора. \ез \задача[!] Докажите, что такой гомоморфизм обязательно переводит некоторые положительные числа в отрицательные. \ез \определение Пусть задан $\Q$-линейный гомоморфизм $\phi:\; \R \arrow \R$, переводящий $\pi$ в 0, а $C$ - многогранник в $\R^3$, с ребрами длины $d_1, ... d_n$ и прилежащими им двугранными углами, выраженными (в радианах) как $\alpha_1, ... \alpha_n$. Инвариант Дена $D_\phi(C)$ записывается как \[ D_\phi(C):= \sum_{i=1}^n d_i \phi(\alpha_i). \] \ео \задача[!] Докажите, что пространство $\Q$-линейных гомоморфизмов, переводящих $\pi$ в 0, не пусто, и его мощность больше континуума. \ез \определение Это множество наделяется структурой векторного пространства над $\R$: \[ \lambda(\phi)(c)= \lambda\phi(c). \] Оно называется {\бф пространством инвариантов Дена}. \ео \задача Докажите, что пространство инвариантов Дена бесконечномерно над $\R$. Докажите, что для любого числа $\lambda\in R$ существует гомоморфизм $\phi:\; \R \arrow \R$, такой, что $\phi(\lambda)\neq 0$, при условии, что $\lambda/\pi$ иррационально. Воспользуйтесь аксиомой выбора. \ез \задача[!] Пусть симплекс $\Delta$ представлен в виде объединения симплексов $\Delta =\bigcup_i \Delta_i$, пересекающихся по граням. Докажите, что \[ D_\phi(\Delta) = \sum_i D_\phi(\Delta_i) \] \ез \задача[*] Докажите, что инвариант Дена $D_\phi$ является конечно-аддитивной мерой на пространстве многогранников в $\R^3$. \ез \задача Рассмотрим правильный тетраэдр. Докажите, что его двугранные углы равны $\operatorname{arccos}(1/3)$. \ез \задача Пусть $\cos(\pi \alpha) = 1/n$, а $\alpha$ рационально. Выведите из этого, что \[ e^{\1\pi k\alpha} = \left(\frac 1 n + \1 \frac{\sqrt{n^2-1}} n\right)^k =1. \] для какого-то целого $k>0$. \ез \задача[*] Пусть $n=3$, а $\left(\frac 1 n + \1 \frac{\sqrt{n^2-1}} n\right)^k =1$. Докажите, что $k=0$. \ез \указание Докажите однозначность разложения на множители в кольце $\Z[\sqrt {-2}]$ и воспользуйтесь ею. \еу \задача[*] Обозначим за $\alpha$ двугранный угол правильного тетраэдра. Докажите, что $\frac{\alpha}{\pi}$ иррационально. \ез \задача[*] Найдите такое $D_\phi$ в пространстве инвариантов Дена что $D_\phi(\alpha)\neq 0$, где $\alpha$ - двугранный угол правильного тетраэдра. \ез \задача[*] В условиях предыдущей задачи, докажите, что $D_\phi(\Delta)\neq 0$, где $\Delta$ есть правильный тетраэдр. \ез \задача Докажите, что $D_\phi(C)=0$ для любого параллелепипеда. \ез \задача[*] Докажите, что равновеликие правильный тетраэдр и правильный куб не равносоставлены. \ез \задача[**] (теорема Дена-Сидлера) Пусть два многогранника $A$ и $B$ в $\R^3$ равновелики, и $D_\phi(A)=D_\phi(B)$ для любого инварианта Дена. Докажите, что $A$ и$B$ равносоставлены. \ез \end{document}