\documentclass{slides}
\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh, url}
\def\goth{\mathfrak}
\newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}}}
\def\endproof{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\ендпрооф{\endproof}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
%\newcommand{\green}{}
%\newcommand{\purple}{}
%\newcommand{\red}{}
%\newcommand{\blue}{}
\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}
\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\смалл{\small}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}
\def\1{\sqrt{-1}}
\def\Alt{\operatorname{\sf Alt}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Map{\operatorname{Map}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\diam}{\operatorname{\sf diam}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Pagestyle %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\makeatletter
\newcommand{\ps@verbit}{%
\renewcommand{\@oddhead}{%
\tiny {\it Метрическая геометрия\scriptsize \hfil
\tiny М. Вербицкий}}
\renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
\renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil}
\renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
\pagestyle{verbit}
\makeatother
\setlength\paperheight {10in}%
\setlength\paperwidth {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}
\setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
\setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, %
% definition,example defined there: %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\лемма}{%
{\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
{\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
{\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
{\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
{\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
{\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
{\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
{\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
{\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
{\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
{\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
{\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
{\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
{\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
{\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}
\makeatother
\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Метрическая геометрия 8: \\[3mm]
квазиизометрии}\\[14mm]
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
{\small Миша Вербицкий}
\\[8mm]
{\tiny
\bf 25 апреля, 2016\\
НМУ}
\end{center}
\невпаге
{\бф \блуе Квазиизометрии}
\определение
Отображение $f:\; X \arrow Y$ называется
{\бф\блуе билипшицевым с константой $C$},
или просто {\бф\блуе билипшицевым}, если это биекция, причем $f$ и $f^{-1}$
$C$-липшицевы (то есть удовлетворяют $d(f(x),f(y))\leq C d(x,y)$).
\определение
Пространства $X$ и $Y$ {\бф \блуе квазиизометричны}, если для какого-то
$\epsilon>0$ в $X$ и в $Y$ существуют $\epsilon$-сети $X_\epsilon$ и $Y_\epsilon$,
между которыми есть билипшицево отображение.
\определение
Отображение $f:\; X \arrow Y$ метрических пространств
называется {\бф\блуе квазиметрическим}, если для каких-то
констант $C$, $\epsilon>0$, имеем $d(f(x),f(y))\leq C d(x,y)+\delta$.
\замечание
{\бф \пурпле
Квазиметрическое отображение не обязательно непрерывно.}
\невпаге
{\бф \блуе Квазиизометрии и квазиметрические отображения}
\теорема
Пусть $X, Y$ -- метрические пространства.
{\бф \ред Тогда следующие условия равносильны:}\\
(а) Существуют квазиметрические отображения
$f:\; X\arrow Y$, $g:\; Y \arrow X$, и константа $A>0$ такая, что
{\бф \пурпле $d(gf(x),x) \delta$.
\утверждение
Пусть $N$ -- $\epsilon$-сеть в метрическом пространстве.
Тогда {\бф \ред из $N$ можно выбрать $\epsilon$-разделенную $2\epsilon$-сеть.}
\доказательство
См. листочек 1. \ендпрооф
\лемма
Пусть $f:\; M \arrow M'$ -- квазиметрическое
отображение. Тогда {\бф \пурпле существует $B>0$ такое, что
для каждой $B$-разделенной $2B$-сети, отображение
$f\restrict{N_X}$ липшицево.}
\доказательство
Пусть $d(f(x),f(y))\leq C d(x,y)+\delta$.
Тогда надо взять $B> \frac 1 2 C\delta$,
и $f\restrict{N_X}$ будет $2C$-липшицево.
\ендпрооф
\невпаге
{\бф\блуе Квазиизометрии и $\epsilon$-сети (продолжение)}
\теорема
Пусть $X, Y$ -- метрические пространства.
{\бф \ред Тогда следующие условия равносильны:}\\
\phantom{XXX} (а) Существуют квазиметрические отображения
$f:\; X\arrow Y$, $g:\; Y \arrow X$, и константа $A>0$ такая, что
{\бф \пурпле $d(gf(x),x)A$. Поскольку $fg$ переводит каждую точку $N_X$ в точку
из ее $A$-окрестности, {\bf \purple $f\restrict{N_X}$ биективно.}
{\бф \греен Шаг 3:} Пусть $N_Y:=f(N_X)$.
Тогда $g(N_Y)=fg(N_X)$ есть $A+B$-сеть в $X$.
Осталось убедиться, что $N_Y$ есть $\epsilon$-сеть в $Y$.
Для каждой точки $x:=g(y)\in X$ найдется $x_0:=g(y_0)\in g(N_Y)$
такая, что $d(x, x_0) < A+B$. Но поскольку $g$ искажает
расстояния не более, чем линейно, найдутся $C$ и $\delta$
такие, что $d(y, y_0) < Cd(x, x_0)+ \delta= C(A+B) + \delta$.
{\бф \пурпле Мы доказали, что $N_Y$ есть
$[C(A+B)+\delta]$-сеть.}
\ендпрооф
\невпаге
{\бф \блуе Метрика слов на группе}
\определение
{\бф \блуе Набор образующих} конечно-порожденной
группы $G$ есть конечное
множество элементов $S$, мультипликативно порождающих $G$.
В дальнейшем, {\бф \ред мы будем всегда предполагать, что
$s\in S \Leftrightarrow s^{-1}\in S$.}
\определение
Пусть $G$ -- группа, $\{s_i\}$ -- набор образующих.
{\бф \блуе Граф Кэли} пары $(G, \{s_i\})$ есть граф, вершины
которого -- элементы $G$, а ребра соединяют точки вида
$g$ и $gs_i$. Положим длину ребер графа равной 1.
Этот метрический граф называется {\бф \ред графом Кэли.}
\определение
{\бф \блуе Метрика слов} на группе $\Gamma$ с набором
образующих $S$ есть метрика $d_S$, индуцированная с графа
Кэли.
\замечание
Пусть самое короткое разложение вида $\gamma=\prod_i s_i$
имеет длину $i$. {\бф \пурпле Тогда $d_S(1,\gamma)=i$.}
Именно поэтому $d_S$ называется "метрика слов".
\утверждение
Пусть $S, S'$ -- наборы образующих, причем \\
$\max_{s'\in S'} d_S(1, s')=C$. {\бф \ред Тогда тождественное
отображение $(\Gamma, d_S)\arrow \Gamma, d_{S'})$
$C$-липшицево}.
\ендпрооф
\следствие {\бф \ред Для любой конечно-порожденной группы,
все ее графы Кэли квазиизометричны.}
\ендпрооф
\newpage
{\бф \блуе Кратчайшие в метрическом прострастве (повторение)}
{\bf \green Определение:}
Пусть $\gamma:\; [0,\alpha]\arrow M$ - кратчайшая,
соединяющая $x$ и $y$, причем \[ d(\gamma(x), \gamma(y))= |x-y|.\]
Такая кратчайшая называется {\bf \blue кратчайшей
геодезической}, а соответствующая параметризация -
{\bf\blue геодезической параметризацией}.
\замечание
{\пурпле\бф Геодезическая кратчайшая -- то же
самое, что изометрическое вложение из отрезка в $M$.}
\теорема
Пусть $M$ - локально компактное, полное пространство
с внутренней метрикой, а $x_0, x_1\in M$. {\бф \ред Тогда существует кратчайшая
геодезическая, соединяющая $x_0$ и $x_1$.}
\ендпрооф
\определение
Кратчайшая, соединяющая две точки $a,b$ метрического
пространства, обозначается $[a,b]$, а ее длина
обозначается $|ab|:=d(a,b)$.
\определение
Метрика называется {\бф\блуе строго внутренней},
если любые две точки соединяются кратчайшей.
Пространство со строго внутренней метрикой
называется {\бф\блуе геодезическим}.
\newpage
{\бф \блуе Тонкие треугольники (повторение)}
\определение
{\бф\блуе Геодезический треугольник} $\triangle(abc)$ в метрическом
пространстве есть треугольник, составленный из трех
вершин $a,b,c$, соединенных кратчайшими, которые я буду
обозначать за $[a,b],[b,c]$ и $[c,a]$
{\бф \блуе Талия} {\it (en: minsize, fr: taille minimale)}
треугольника есть супремум
расстояния от точки $z$, лежащей на одной из сторон,
до объединения двух других. Треугольник называется
{\бф \блуе $\delta$-тонким} (по Рипсу), если его талия не больше $\delta$.
\centerline{\epsfig{file=tonkij-treugoln.eps,width=0.13\linewidth}}
\определение
Метрическое пространство $X$ со строго внутренней метрикой
называется {\бф \блуе $\delta$-гиперболическим},
если все геодезические треугольники $\delta$-тонкие.
Будем говорить, что $X$ {\бф \блуе гиперболично}, если оно
$\delta$-гиперболично, для какой-то константы $\delta$.
\замечание
Kогда говорят
{\bf \blue "определение А гиперболичности эквивиалентно определению Б"}
это значит, что {\bf \purple для какого-то числа $C>0$ из
$\delta$-гиперболичности в смысле А следует
$C\delta$-гиперболичность в смысле Б, а из
$\delta$-гиперболичности в смысле Б следует
$C\delta$-гипербо\-личность в смысле А.}
\невпаге
{\бф \блуе Свойства гиперболических пространств (повторение):}
\утверждение
{\бф \ред Каждое 0-гиперболическое геодезическое пространство
изометрично дереву} (связному, односвязному графу).
\теорема {\бф \ред Пространство Лобачевского гиперболично}.
\дшаг
Поскольку любой геодезический треугольник лежит в плоскости,
можно ограничиться плоскостью Лобачевского.
{\бф \греен Шаг 2:} Пусть $\triangle(abc)$ -- геодезический
треугольник на плоскости Лобачевского, а $B$ -- вписанная в
него окружность. На каждой стороне треугольника (например, $[ab]$)
максимум расстояния до объединения двух других сторон ограничен
максимумом расстияния в точках касания вписанной окружности.
\centerline{\epsfig{file=vpisannaya.eps,width=0.33\linewidth}}
Из этого следует, что {\бф \пурпле талия треугольника удовлетворяет
$T(abc)<2 R$, где $R$ -- радиус вписанной окружности.}
\невпаге
{\бф \блуе Гиперболичность пространства Лобачевского (повторение)}
{\бф \греен Шаг 2 (повтор):}
Талия треугольника удовлетворяет
$T(abc)<2 R$, где $R$ -- радиус вписанной окружности.
{\бф \греен Шаг 3:} {\бф \пурпле Площадь круга радиуса $R$ растет с увеличением
$R$ неограниченно,} потому что {\бф \ред площадь плоскости
Лобачевского бесконечна}
(ее можно замостить бесконечным количеством
прямоугольных шестиугольников).
{\бф \греен Шаг 4:} Площадь $n$-угольника на плоскости
Лобачевского равна $\pi(n-2)-\sum\alpha_i$, где
$\alpha_i$ -- его углы. Значит, площадь треугольника
$\leq \pi$. Поэтому, {\бф \ред радиус круга, вписанного
в треугольник, ограничен.} \ендпрооф
\невпаге
{\бф \блуе Гиперболические группы (повторение)}
\определение
Группа с заданной системой образующих
называется {\бф\блуе гиперболичной по Громову}, если
ее граф Кэли $\delta$-гиперболичен, для какого-то $\delta$.
На следующей лекции я докажу такую (весьма нетривиальную)
теорему.
\теорема
Пусть $M,M'$ -- квазиизометричные геодезические пространства,
причем $M$ гиперболическое. {\бф \ред Тогда $M'$ тоже
гиперболическое.}
\следствие
Гиперболичность группы не зависит от выбора образующих:
{\бф \ред если конечно порожденная группа гиперболична с одним
набором образующих, она гиперболична со любым другим набором.}
\доказательство
Выше доказано, что {\бф \пурпле все графы Кэли
данной группы квазиизометричны.}
\ендпрооф
\newpage
{\bf \blue Громовское произведение (повторение)}
\определение
Пусть $X$ -- метрическое пространство с отмеченной
точкой $p$. {\бф \блуе Громовское произведение}
$(a,b)_p$ есть $1/2(|ap|+|bp|-|ab|)$. Это число, которое
измеряет отклонение неравенства треугольника от равенства.
\замечание
{\бф \ред Расстояние можно определить в терминах громовского
произведения.}
\определение
Пусть $(X,p)$ -- множество с отмеченной точкой.
Легко видеть, что расстояние на $X$ можно определить в терминах
громовского произведения $(a,b)_p$, потребовав выполнения
недлинного списка аксиом. Говорится, что функция
$(\cdot,\cdot)_p:\; X\times X\arrow \R^{\geq 0}$ {\бф \блуе удовлетворяет
аксиомам громовского произведения}, если выполнены следующие условия.
[{\бф \греен симметричность:}] $(a,b)_p=(b,a)_p$.\\ \
[{\бф \греен невырожденность:}] $(a,a)_p=(a,b)_p=(b,b)_p$ \ $\Leftrightarrow$
$a=b$.\\ \
[{\бф \греен неравенство треугольника}] $(a,b)_p+(b,c)_p\leq (a,c)_p+(b,b)_p$.
\утверждение
Пусть треугольник $\triangle(abp)$ $\delta$-тонкий. {\бф \ред Тогда\\
$d(p,[ab])\geq (a,b)_p\geq d(p,[ab])-2\delta.$}
\невпаге
{\bf \blue Неравенство Громова (повторение)}
\определение
Пусть $(X,p)$ -- метрическое пространство с отмеченной
точкой, а $a,b,c\in X$. {\бф \блуе Неравенство Громова} есть неравенство
на попарные громовские произведения:
\[
(a,b)_p\geq \min\left[(a,c)_p,(b,c)_p\right]-\delta.
\]
Когда нужно обозначить, о каком конкретно $\delta$ идет
речь, говорится {\бф \блуе $\delta$-неравенство Громова.}
\замечание
Неравенство Громова равносильно следующему
условию:
\[ \max(|bp|+|ac|-|cp|-|ab|,
|ap|+|bc|-|cp|-|ab|)\geq-\delta.
\]
\centerline{\epsfig{file=gromov-inequa.eps,width=0.35\linewidth}}
\newpage
{\bf \blue Гиперболичность по Громову (повторение)}
\теорема
Пусть в $(X,p)$ выполнено $\delta$-неравенство Громова.
{\бф \ред Тогда для любой точки $p'$, в $(X,p')$
выполнено $2\delta$-неравенство Громова.}
\теорема
{\бф \пурпле Каждое пространство с внутренней метрикой,
в котором верно 0-неравенство Громова, изометрично дереву.}
\определение
Пусть $X$ -- метрическое пространство,
не обязательно геодезическое. Пространство
$X$ {\бф\блуе гиперболично по Громову}, если выполнено
$\delta$-неравенство Громова, для какого-то $\delta$.
\теорема
{\бф \ред Гиперболичность по Громову равносильна
гиперболичности в смысле тонких треугольников.}
\доказательство будет немного погодя.
\замечание
Утверждение теоремы для $\delta=0$ {\бф \пурпле
доказано на прошлой лекции}. Действительно, 0-гиперболическое пространство
это дерево.
\утверждение
Пусть в метрическом пространстве $(X,p)$
выполнено неравенство Громова для $\delta=0$.
{\бф \пурпле Тогда для любых $a,b,c\in X$, в тройке
$(a,b)_p, (a,c)_p, (b,c)_p$ какие-то два числа равны,
а третье $\geq$ первых двух.}
\невпаге
{\бф \блуе Модельный гиперболический треугольник (повторение)}
\определение
\label{_model_triangle_Opredelenie_}
Пусть $\triangle(abc)$ -- геодезический треугольник.
Определим {\бф \блуе модельный 0-ги\-пер\-болический треугольник},
или же {\бф \блуе модельное дерево},
$\triangle(\bar a\bar b \bar c)$ как дерево с тремя вершинами\\
\centerline{\epsfig{file=triskelion-model.eps,width=0.45\linewidth}}\\
и тремя ребрами, соединенными в четвертой вершине,
{\бф \пурпле таким образом, что соответствующие расстояния равны:}
$|ab|=|\bar a\bar b|$, $|ac|=|\bar a\bar c|$, $|bc|=|\bar b\bar c|$.
\утверждение
Пусть $\triangle(abc)$ -- геодезический треугольник
в метрическом пространстве, а $\triangle(\bar a\bar b \bar c)$ --
модельное дерево. {\bf \purple Тогда существует отображение
$\Psi:\; \triangle(abc)\arrow \triangle(\bar a\bar b \bar c)$, задающее
изометрию на каждой стороне, и переводящее вершины
в соответствующие им вершины.} \endproof
\определение
Это отображение называется {\бф \блуе отображением сравнения}.
\невпаге
{\бф \блуе Кодиаметр (повторение)}
\newcommand{\codiam}{\operatorname{\sf codiam}}
\определение
Пусть $\phi:\; X\arrow Y$ -- отображение метрических пространств.
{\бф\блуе Кодиаметр} $\codiam\phi$ определяется формулой
\[ \codiam(\phi):=\sup_{x,y\in X} |d(x,y)-d(\phi(x),\phi(y))|.\]
Он измеряет то, насколько $\phi$ отличается от изометрии.
\утверждение
Пусть $\Psi:\;\triangle(abc)\arrow \triangle(\bar a\bar b \bar c)$ --
отображение в модельный треугольник, построенное выше. Тогда
(а) {\bf \purple Если $\codiam\Psi\leq \delta$,
то $\triangle(abc)$ $\delta$-тонкий.}
(б) {\bf \red Eсли $\triangle(abc)$ $\delta$-тонкий,
то $\codiam\Psi\leq 2\delta$.}
\невпаге
{\bf \blue Аппроксимационное дерево}
\утверждение
Пусть $(X,p)$ -- метрическое пространство с отмеченной
точкой. Для набора точек $S=\{x=x_0,x_1, ..., x_n,x_{n+1}=y\} \subset X$,
обозначим за $L_S(x,y):=\min_i (x_i,x_{i+1})_p$.
Определим функцию $(x,y)'_p:=\sup_S L_S(x,y)$,
где супремум берется по всем множествам $x_1, ..., x_n \in X$.
Пусть $d'(x,y)=d(x,p)+d(y,p)-2 (x,y)'_p$. {\бф \ред
Тогда\\
1. $d(x,y)\geq d'(x,y)\geq 0$ \\
2. $(x,y)'_p$ удовлетворяет 0-неравенству Громова:}
в любой тройке \\
$(a,b)_p', (a,c)_p', (b,c)_p'$ какие-то два числа равны,
а третье $\geq$ первых двух.\\
3.{\бф \ред $d'$ это полуметрика.}
\доказательство
Утверждения 1-2 -- тавтологии. Для 3,
нужно проверить аксиомы громовского произведения:
симметричность $(a,b)'_p=(b,a)'_p$ (очевидно) и
неравенство треугольника
\[ (a,b)'_p+(b,c)'_p\leq (a,c)'_p+(b,b)'_p. \ \ \ \ (*)\]
\невпаге
{\bf \blue Аппроксимационное дерево (продолжение)}
Мы проверяем неравенство треугольника
\[ (a,b)'_p+(b,c)'_p\leq (a,c)'_p+(b,b)'_p. \ \ \ \ (*)\]
{\бф \греен Шаг 1:} Из 0-неравенства Громова для
$(\cdot,\cdot)'_p$ следует $(a,b)'_p\leq (b,b)'_p$, $(c,b)'_p\leq (b,b)'_p$
{\бф \греен Шаг 2:} В тройке
$(a,b)'_p, (a,c)'_p, (b,c)'_p$ какие-то два числа равны,
а третье $\geq$ первых двух. Если $(a,c)'_p$ больше, оба
слагаемых справа в (*) $\geq$ слагаемых слева. Если
(для примера) $(a,b)'_p$ больше, a $(a,c)'_p=(b,c')_p$, воспользуемся
$(a,b)'_p\leq (b,b)'_p$, и получим из шага 1
\[
(a,c)'_p+(b,b)'_p \geq (a,c)'_p+(a,b)'_p\geq
(a,b)'_p+(b,c)'_p.
\]
\ендпрооф
\определение
Обозначим за $X_{tr}$ метрическое пространство,
полученное из построенной выше полуметрики $(X,d')$
склеиванием точек $x,y$ с $d'(x,y)=0$. Оно называется
{\бф \блуе аппроксимационным деревом для $X$}.
\утверждение {\бф \пурпле $X_{tr}$ -- дерево,} а тавтологическое отображение \\
$(X,d)\stackrel \nu \arrow X_{tr}$ 1-липшицево и удовлетворяет
$|px|=d'(\nu(p),\nu(x))$.
\ендпрооф
\невпаге
{\bf \blue Неравенство мультигромова}
\утверждение
Предположим, что в метрическом пространстве $X$ выполнено
следующее "неравенство мультигромова": \\
$(x,y)_p\geq \min_i ((x_i, x_{i+1})_p)-\delta'$
{\бф \пурпле Тогда отображение
$(X,d)\stackrel \nu \arrow X_{tr}$ имеет кодиаметр $\leq
2\delta'$.}
\ендпрооф
\утверждение
Пусть $(X,p)$ -- конечное метрическое пространство,
в котором $2^k+2$ точки, и выполнено $\delta$-неравенство
Громова. {\бф \ред Тогда в $X$ выполнено неравенство
мультигромова для $\delta'=k\delta$.}
\дшаг
Пусть в последовательности $x_0, ..., x_n$
не больше $2^k+2$ точки. Разобьем эту последовательность
на две последовательности $a_i$ и $b_i$ длины $\leq
2^{k-1}+2$, причем в $a_i$ входят точки от $x=x_0$ до
$z=x_l$, а в $b_i$ точки от $z=x_l$ до $y=x_n$.
Воспользовавшись индукцией по $k$, можем считать, что
$(x,z)_p \geq \min_i ((a_i, a_{i+1})_p-(k-1)\delta$ и
и $(z,y)_p\geq \min_i ((b_i, b_{i+1})_p-(k-1)\delta$.
{\бф \греен Шаг 2:} В силу неравенства Громова,
\begin{multline*} (x,y)_p \geq \min((x,z)_p,
(z,y)_p)-\delta\geq \\
\geq \min(\min_i ((a_i, a_{i+1})_p, \min_i ((b_i,
b_{i+1})_p)-k\delta\geq \min_i ((x_i, x_{i+1})_p-k\delta.
\end{multline*}
\ендпрооф
\невпаге
{\бф \блуе Неравенство Громова и тонкие треугольники}
\утверждение
Пусть $(X,p)$ -- метрическое пространство со строго внутренней
метрикой, в котором выполнено $\delta$-неравенство Громова, а
$a',b'$ -- точки на сторонах $[ca]$, $[cb]$
треугольника $\triangle(cab)$. Рассмотрим пространство
$Y$ из 5 точек $(c,a,b,a',b')$, и {\бф \ред пусть
$\nu:\; Y \arrow Y_{tr}$ -- отображение
$Y$ в его аппроксимационное дерево.
Тогда $\codiam\nu\leq 2\delta$.}
\доказательство
В силу предыдущей теоремы, в $Y$ выполнено
$2\delta$-неравенство мультигромова.
{\бф \пурпле Теперь $\codiam\nu\leq 2\delta$ следует из
конструкции аппроксимационного дерева.}
\ендпрооф
\теорема
{\бф \ред Пусть в $X$ выполнено $\delta$-неравенство
Громова. Тогда $X$ $6\delta$-гиперболично.}
\замечание
Я буду доказывать, что кодиаметр отображения
в модельный треугольник $\leq 6\delta$;
из этого сразу следует, что все треугольники
$6\delta$-тонкие.
\невпаге
{\бф \блуе Неравенство Громова и тонкие треугольники (продолжение)}
Пусть $a',b'$ -- точки на сторонах $[ca]$, $[cb]$
треугольника $\triangle(cab)$, $Y$ -- пространство
из 5 точек $(c,a,b,a',b')$, а
$\nu:\; Y \arrow Y_{tr}$ -- отображение
$Y$ в его аппроксимационное дерево
\теорема
{\бф \ред Пусть в $X$ выполнено $\delta$-неравенство
Громова. Тогда $X$ $6\delta$-гиперболично.}
\дшаг
Пусть $Y_{tr}^0$ -- минимальное связное под-дерево $Y$,
содержащее $\nu(a),\nu(b),\nu(c)$. Тогда
$Y_{tr}^0$ изометрично дереву
с четырьмя вершинами (одной центральной и три по бокам),
а {\бф \пурпле $Y_{tr}$ лежит в $2\delta$-окрестности $Y_{tr}^0$.}
{\бф \греен Шаг 2:} Рассмотрим отображение
$Y_{tr}\stackrel \mu\arrow Y_{tr}^0$, полученное стягиванием
всех лишних веточек в точку.
Тогда кодиаметр этого отображения
$\leq 2\delta$.
{\бф \греен Шаг 3:}
По построению, длины сторон $Y_{tr}^0$ отличаются
от длин сторон модельного дерева не больше, чем на $2\delta$.
{\бф \пурпле Значит, $d(\tau(a'),\tau(b')) - d(\mu(a'),\mu(b'))\leq 4\delta$,
где $\tau$ -- отображение треугольника $\triangle(abc)$
в модельное дерево. }
{\бф \греен Шаг 4:} Мы доказали, что
$|d(a',b')-d(\mu(a'),\mu(b'))|\leq 2\delta$, а
$|d(\tau(a'),\tau(b')) - d(\mu(a'),\mu(b'))|\leq 4\delta$.
{\бф \ред Поэтому $\codiam \tau \leq 6\delta$.}
\ендпрооф
\невпаге
{\бф \блуе Неравенство Громова для гиперболических пространств}
\утверждение
Пусть $\triangle(abc)$ -- $\delta$-тонкий треугольник,
а $p'$ -- точка на стороне $[a,b]$, ближайшая к $p$.
Предположим для определенности, что она лежит в
$\delta$-окрестности $[ac]$. {\бф \пурпле Тогда
$(a,b)_p\geq (b,c)_p-3\delta$.}
\дшаг Поскольку $d(p',[ac])\leq \delta$, имеем
$d(p,[a,b])-d(p,[a,c])\geq -\delta$.
{\бф \греен Шаг 2:}
В прошлый раз доказали, что
$(a,b)_p\leq d(p,[ab])\leq (a,b)_p+2\delta$.
{\бф \пурпле Поэтому из шага 1 следует, что
$(a,b)_p-(b,c)_p\geq -3\delta$.}
\ендпрооф
\следствие
{\бф \ред В любом $\delta$-гиперболическом пространстве выполнено
$3\delta$-неравенство Громова.}
\следствие
{\бф \блуе Гиперболичность по Громову эквивалентна
гиперболичности, определенной через тонкие треугольники.}
\end{document}
\end{document}