Вариации структур Ходжа: анонс курса

Миша Вербицкий, НМУ, весна 2015

Вариация структур Ходжа (VHS) - это плоское расслоение над комплексным многообразием, снабженное голоморфной фильтрацией $F^p$ ("фильтрацией Ходжа") и антиголоморфной инволюцией, и удовлетворяющее двум условиям: $V= \bigoplus_i F^p\cap \bar F^{n-p}$ ("градуировка") и условию трансверсальности Гриффитса $\nabla(F^p)\subset F^{p+1}\otimes \Lambda^1M$. Вариация структур Ходжа возникает на локальной системе, полученной из когомологий голоморфного семейства кэлеровых многообразий. VHS -- одно из основных технических средств алгебраической геометрии, применимое во множестве разных ситуаций. Я расскажу о построении и базовых свойствах вариаций структур Ходжа. Затем я определю смешанные структуры Ходжа и построю их на когомологиях особого или некомпактного многообразия. Я объясню, каким образом смешанные структуры Ходжа возникают при вырождении вариаций структур Ходжа.

Курс рассчитан на студентов, освоивших основы топологии, дифференциальной и комплексной геометрии, в объеме примерно нулевой и первой главы Гриффитса-Харриса, и всей нужной для этого гомологической алгебры, комплексного анализа и теории категорий.

Примерный план курса.

  1. Вариации структур Ходжа: определение и конструкция. Пространство периодов. Теоремы Торелли. Поляризация.
  2. Первые применение условия трансверсальности. Теорема Гриффитса о жесткости (две VHS над компактом, совпадающие в одной точке и с одинаковыми представлениями монодромии, изоморфны). Теорема Делиня о полупростоте представления монодромии.
  3. Теорема Гриффитса о том, что отображение периодов на диске с метрикой Пуанкаре сжимающее. Теорема о квазиунипотентности монодромии VHS на проколотом диске.
  4. Каноническое продолжение Делиня. Вырождения структур Ходжа. Теорема Шмида о нильпотентной орбите и об SL(2)-орбите.
  5. Смешанные структуры Ходжа: абелевость категории, конструкция смешанной структуры Ходжа на когомологиях, конструкция смешанной структуры Ходжа на вырождениях VHS (Стеенбринк).
  6. Конструкция Симпсона вариаций структур Ходжа по нильпотентным, полистабильным расслоениям Хиггса (без доказательства).
Если будет время, я расскажу про приложения теории вариаций структур Ходжа.

Литература:

  1. Клэр Вуазен, Теория Ходжа
  2. Topics in Transcendental Algebraic Geometry, ed. by Phillip A. Griffiths
  3. Richard Hain, Periods of Limit Mixed Hodge Structures
  4. Fouad Elzein, Le Dung Trang, MIXED HODGE STRUCTURES,
  5. E. Looijenga, Trento notes on Hodge theory
  6. Donu Arapura, Building Mixed Hodge Structures
  7. EDUARDO CATTANI, INTRODUCTION TO VARIATIONS OF HODGE STRUCTURE, SUMMER SCHOOL ON HODGE THEORY, ICTP, JUNE 2010,
  8. Вик. С. Куликов, П. Ф. Курчанов, Комплексные алгебраические многообразия: периоды интегралов, структуры Ходжа, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 1989, том 36, страницы 5-231, 
Liviu Nikolaescu 
http://www3.nd.edu/~lnicolae/mhodge.pdf
Mixed Hodge Structures, 2005.

Chris Peters, Jozef Steenbrink,
"Mixed Hodge Structures", 
Ergebnisse der Mathematik, January 11, 2007,
Springer Verlag, 469 pages,
 http://www.arithgeo.ethz.ch/alpbach2012/Peters_Steenbrinck

O. Penaccio, 
MIXED HODGE STRUCTURES AND VECTOR BUNDLES ON THE
PROJECTIVE PLANE I, 
http://www.crm.cat/en/Publications/Publications/2005/Pr654.pdf

Mikhail Kapranov,
 http://arxiv.org/abs/0802.0215
Real mixed Hodge structures.

Akira Fujiki, 
Duality of Mixed Hodge Structures of Algebraic Varieties,
Publ RIMS, Kyoto Univ., 16 (1980), 635-667

C. A. M. Peters, J. Steenbrink
``Monodromy of variations of Hodge structure,'' 
Acta Applicanda Math. 75 (2003) 183-194. 
https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~peters/Articles/PubSteen2.pdf 

C. A. M. Peters, ``Curvature for period domains'',
в книге ``Complex Geometry and Lie Theory'', 
ред. James A. Carlson, C. Herbert Clemens, David
R. Morrison, Proceedings of Symposia of Pure Mathematics
vol. 53, 1992 (доступна в генлибрусеке).

 Phillip A. Griffiths,
 Periods of integrals on algebraic manifolds, III
 (some global differential-geometric properties of the period mapping)
 Publications de Mathematiques de IHES,
 January 1970, Volume 38, Issue 1, pp 125-180

 Eduardo Cattani, "Asymptotics of the Period Map",
 June 19, 2012, CBMS - TCU
   http://faculty.tcu.edu/gfriedman/CBMS2012/cattani.pdf